Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+3的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象交于點P、Q，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B．一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C、點D，且S_△DBP=6，OC=CA．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；
（3）求△OPQ的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）將x=0代入y=kx+3，求出y的值，即可得到一次函數(shù)與y軸的交點D的坐標(biāo)；
（2）先證明△COD∽△CAP，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等得到

OD

AP

=

OC

AC

=1，由OD=3，求得AP=OB=3，則DB=OD+OB=6，再由S_△DBP=6，求出BP=2，于是P（2，-3），然后把P點坐標(biāo)分別代入y=kx+3與y=

m

x

，利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）先把y=-3x+3代入y=-

6

x

，解方程得到Q點坐標(biāo)，再根據(jù)△OPQ的面積=△OPD的面積+△OQD的面積，代入數(shù)值計算即可求解．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+3與y軸相交于點D，
∴令x=0，解得y=3，
∴D的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，
∴∠DOC=∠CAP=90°．
在△COD與△CAP中，

∠DOC=∠PAC ∠DCO=∠PCA

，
∴△COD∽△CAP，
∴

OD

AP

=

OC

AC

=1，OD=3，
∴AP=OB=3，
∴DB=OD+OB=6，
∵S_△DBP=6，
∴

1

2

×6×BP=6，
∴BP=2，故P（2，-3），
把P點坐標(biāo)代入y=kx+3，
得-3=2k+3，解得k=-3，
則一次函數(shù)的解析式為：y=-3x+3；
把P點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得m=-6，
則反比例解析式為：y=-

6

x

；

（3）把y=-3x+3代入y=-

6

x

，得-3x+3=-

6

x

，
整理，得x²-x-2=0，
解得x=-1或2，
當(dāng)x=-1時，y=6，
當(dāng)x=2時，y=-3，
∵P（2，-3），
∴Q（-1，6）．
△OPQ的面積=△OPD的面積+△OQD的面積
=

1

2

×3×2+

1

2

×3×1
=3+1.5
=4.5．

點評：本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，在解題時要注意知識的綜合運用與圖形相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．