Question

8．如圖，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，點E是邊AD上的一個動點，把△BAE沿BE折疊，點A落在A′處，如果A′恰在矩形的對稱軸上，則AE的長為1或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：①過A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，則直線MN是矩形ABCD 的對稱軸，得出AM=BN=$\frac{1}{2}$AD=1，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=1，再由勾股定理解得A′E即可；
②過A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′=30°，由三角函數(shù)求出AE=A′E=A′B×tan30°；即可得出結果．

解答 解：分兩種情況：
①如圖1，過A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
則直線MN是矩形ABCD 的對稱軸，
∴AM=BN=$\frac{1}{2}$AD=1，
∵△ABE沿BE折疊得到△A′BE，
∴A′E=AE，A′B=AB=1，
∴A′N=$\sqrt{A′{B}^{2}-B{N}^{2}}$=0，即A′與N重合，
∴A′M=1，
∴A′E²=EM²+A′M²，
∴A′E²=（1-A′E）²+1²，
解得：A′E=1，
∴AE=1；
②如圖2，過A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
則直線PQ是矩形ABCD 的對稱軸，
∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B=2PB，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，
∴∠EBA′=30°，∴AE=A′E=A′B×tan30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
綜上所述：AE的長為1或$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
故答案為：1或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，矩形的性質，勾股定理；正確理解折疊的性質是解題的關鍵．