Question

【題目】如圖甲，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過(guò)A(﹣1，0)，B(2，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式和直線(xiàn)BC的表達(dá)式．

(2)如圖乙，點(diǎn)P為在第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)PE交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D．

①在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形ACPB的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

②是否存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)O，C，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣x﹣1；y＝x﹣1；(2)①當(dāng)x＝1時(shí)，S最大值為2；②點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)或(1，﹣1)或(，﹣)．

【解析】

(1)設(shè)：二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a(x+1)(x﹣2)＝ax2﹣ax﹣2a，即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，即可求解；

(2)①S四邊形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB，即可求解；②分CD＝OC、CD＝OD、OC＝OD三種情況分別求解即可．

解：(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a(x+1)(x﹣2)＝ax2﹣ax﹣2a，

即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣1，點(diǎn)C(0，﹣1)，

則直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y＝kx﹣1，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：0＝2k﹣1，解得：k＝，

故直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y＝x﹣1；

(2)①設(shè)點(diǎn)P(x， x2﹣x﹣1)，則點(diǎn)D(x， x﹣1)，

S四邊形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB

＝×3×1+×2(x﹣1﹣x2+x+1)＝﹣x2+x+，

∵﹣<0，

故S有最大值，當(dāng)x＝1時(shí)，S最大值為2；

②設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(m， m﹣1)，

則CD2＝m2+m2，OC2＝1，DO2＝m2+(m﹣1)2＝m2﹣m+1，

當(dāng)CD＝OC時(shí)，m2+m2＝1，解得：m＝，

同理可得：

當(dāng)CD＝OD時(shí)，m＝1，

當(dāng)OC＝OD時(shí)，m＝，

則點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)或(1，﹣1)或(，﹣)．