Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在y軸和x軸的正半軸上，OA=a，∠ACO=30°，以線段AC為邊在第一象限作等邊三角形ABC，過點(diǎn)B作BE∥AC交x軸于點(diǎn)E，再以BE為邊作第二個(gè)等邊三角形BDE，…，依此方法作下去，則第n個(gè)等邊三角形的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：先根據(jù)OA=a，∠ACO=30°求出AC的長(zhǎng)，再由△ABC是等邊三角形可知BC⊥OG，由BE∥AC可知∠BEC=30°，故BE=2BC=4a，同理可得出△DGF的邊長(zhǎng)，再求出各三角形的面積，找出規(guī)律即可．

解答：解：∵OA=a，∠ACO=30°，
∴AC=2a．
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC⊥OG．
∵BE∥AC，
∴∠BEC=30°，
∴BE=2BC=4a，
同理可得，△DGF的邊長(zhǎng)=8a，…，
第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)=2ⁿa，
∴第n個(gè)等邊三角形的面積=

1

2

•2ⁿa•2ⁿa•sin60°=

3 a

4

•2²ⁿ．
故答案為：

3 a

4

•2²ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出等邊三角形的邊長(zhǎng)是解答此題的關(guān)鍵．