Question

如圖，△ABP與△CDP是兩個(gè)全等的等邊三角形，且PA⊥PD．有下列四個(gè)結(jié)論：
（1）∠PBC=15°；（2）AD∥BC；（3）直線PC與AB垂直；（4）四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形．
其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出∠BPC的度數(shù)是360°-60°×2-90°=150°，再根據(jù)對(duì)稱性得到△BPC為等腰三角形，∠PBC即可求出；
（2）根據(jù)題意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；結(jié)合軸對(duì)稱圖形的定義與判定，可得四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，進(jìn)而可得②③④正確．
解答：解：∵△ABP≌△CDP，
∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．
又∵△ABP與△CDP是兩個(gè)等邊三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°．
①根據(jù)題意，∠BPC=360°-60°×2-90°=150°
∵BP=PC，
∴∠PBC=（180°-150°）÷2=15°，
故本選項(xiàng)正確；

②∵∠ABC=60°+15°=75°，
∵AP=DP，
∴∠DAP=45°，
∵∠BAP=60°，
∴∠BAD=∠BAP+∠DAP=60°+45°=105°，
∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，
∴AD∥BC；
故本選項(xiàng)正確；

③延長(zhǎng)CP交于AB于點(diǎn)O．
∠APO=180°-（∠APD+∠CPD）=180°-（90°+60°）=180°-150°=30°，
∵∠PAB=60°，
∴∠AOP=30°+60°=90°，
故本選項(xiàng)正確；

④根據(jù)題意可得四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，
故本選項(xiàng)正確．
綜上所述，以上四個(gè)命題都正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱圖形的定義與判定，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸．