Question

5．已知直線y=kx+1與雙曲線y=$\frac{4}{x}$（如圖所示）．
（1）寫(xiě)出直線y=kx+1經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）對(duì)于k，試探索該直線與雙曲線的交點(diǎn)情況．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，直線y=kx+1經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是0，從而可以求得它的縱坐標(biāo)，本題得以解決；
（2）先把兩個(gè)解析式聯(lián)立方程組，再看△的值，根據(jù)△的值，可以確定該直線與雙曲線的交點(diǎn)情況，還要考慮k=0的情況．該直線與雙曲線的交點(diǎn)情況．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，不管k（k≠0）為何值，直線y=kx+1一定過(guò)點(diǎn)（0，1），
即直線y=kx+1經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$
可得，kx²+x-4=0，
△=1²-4×k×（-4）=1+16k，
當(dāng)1+16k=0時(shí)，得k=-$\frac{1}{16}$，
∴當(dāng)k＞-$\frac{1}{16}$且k≠0時(shí)，該直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k=-$\frac{1}{16}$時(shí)，該直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k＜-$\frac{1}{16}$時(shí)，該直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；
∵當(dāng)k=0時(shí)，y=1與x軸平行，此時(shí)該直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；
由上可得，當(dāng)k＞-$\frac{1}{16}$且k≠0時(shí)，該直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k=-$\frac{1}{16}$或k=0時(shí)，該直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k＜-$\frac{1}{16}$時(shí)，該直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，注意要考慮k=0時(shí)的交點(diǎn)情況．