Question

【題目】CD經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB.E，F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠α.

(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖1,若∠BCA=90°,∠α=90°，則BE___CF;(填“>”,“<”或“=”)；EF，BE，AF三條線段的數(shù)量關(guān)系是：___.

②如圖2,若0°<∠BCA<180°，請?zhí)砑右粋�關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件___，使①中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立。

(2)如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請?zhí)岢?/span>EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想并證明。

Answer 1

【答案】（1）①＝，EF＝|BEAF|②添加∠BCA+∠α＝180°，證明見解析（2）EF＝BE＋AF，證明見解析

【解析】

（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；

②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；

（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．

（1）①∵∠BCA＝90，∠α＝90，

∴∠BCE＋∠CBE＝90，∠BCE＋∠ACF＝90，

∴∠CBE＝∠ACF，

∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；

∴△BCE≌△CAF，

∴BE＝CF；EF＝|CFCE|＝|BEAF|．

故答案為：＝，＝；

②證明：在△BCE中，∠CBE＋∠BCE＝180°∠BEC＝180°∠α．

∵∠BCA＝180°∠α，

∴∠CBE＋∠BCE＝∠BCA．

又∵∠ACF＋∠BCE＝∠BCA，

∴∠CBE＝∠ACF，

又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，

∴△BCE≌△CAF（AAS）

∴BE＝CF，CE＝AF，

又∵EF＝CFCE，

∴EF＝|BEAF|．

（2）猜想：EF＝BE＋AF．

證明過程：

∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA＋∠BCE＋∠ACF＝180°，∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，

∴∠BCE＝∠CAF，

又∵BC＝CA，

∴△BCE≌△CAF（AAS）．

∴BE＝CF，EC＝FA，

∴EF＝EC＋CF＝BE＋AF．

故答案為：EF＝BE＋AF．