Question

如圖，四邊形OABC的頂點(diǎn)A（0，4），B（-2，4），C（-4，0）．過作B、C直線l，將直線l平移，平移后的直線l與x軸交于D，與y軸交于點(diǎn)E．
探究：當(dāng)直線l向左或向右平移時(shí)（包括直線l與BC直線重合），在直線AB上是否存在P，使△PDE為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：由A（0，4），B（-2，4）、C（-4，0）得：OA=4，OC=4，
直線BC：y=2x+8，
又∵BC∥DE，
∴設(shè)直線DE的解析式是：y=2x+b，
∴D（-，0），E（0，b）．
∴OD=b，OE=b．
①如圖1、2，以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，作PP₁⊥x軸，
在Rt△ODE中，OE=2OD，
可證Rt△ODE≌Rt△P₁PD，
∴OD=PP₁=4，DP₁=OE=8．
∴OP₁=12，
∴P（-12，4），P（-4，4）．




②以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如圖3，
∴△AEP≌△ODE，
∴AE=OD，OE=AP，
∴AE=OE，
∴OE=2OA=8，
∴AP=8，
∴P（8，4），
如圖4，可以得出△PAE≌△EOD，
∴AE=DO，PA=OE．
∴OE=2AE，
∵AE+OE=4，
∴AE=，OE=，
∴PA=，
∴P（-，4）．
以E為直角頂點(diǎn)，E在O點(diǎn)的下方不存在．


③以P為直角頂點(diǎn)，如圖5，作PF⊥x軸于F，
∴易得△PAE≌△PFD，
∴PA=PF=4，
∴P（-4，4）；

如圖6，作DH⊥AB于H，易得出：
△PHD≌△EAP，
∴HD=AP，AE=HP，
∴AE=8，AP=4，
∴P（4，4）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：
P₁（-12，4），P₂（-4，4），P₃（8，4），P₄（-，4），P₅（4，4）．


分析：要解答本題，需要分情況討論，當(dāng)D、E、P分別為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用三角形全等的性質(zhì)可以求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，從而等我出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出不同的輔助圖形．