Question

將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D′處，折痕為EF．
（1）求證：△ABE≌△AD′F；
（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)EF與AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)折疊得性質(zhì)得CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD=BC，AD=BC，則AB=AD′；由AD∥BC得到∠AFE=∠CEF，則∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=BE，得到BE=FD′，于是可利用“SSS”判斷△ABE≌△AD′F；
（2）由于AF=EC，AF∥EC，則可判斷四邊形AECF是平行四邊形，加上EA=EC，根據(jù)菱形的判定方法即可得到四邊形AECF是菱形；
（3）四邊形AECF是菱形，所以當(dāng)EF=AC時(shí)，四邊形AECF是正方形．

解答：證明：（1）∵平行四邊形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D′處，折痕為EF，
∴CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴AB=AD′，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AF=CE，
∴AD-AF=BC-CE，
∴DF=BE，
∴BE=FD′，
在△ABE和△AD′F中

AB=AD′ AE=AF BE=D′F

，
∴△ABE≌△AD′F（SSS）；
（2）解：四邊形AECF是菱形．理由如下：
∵AF=EC，AF∥EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵EA=EC，
∴四邊形AECF是菱形；
（3）EF與AC相等時(shí)，四邊形AECF是正方形．理由如下：
∵四邊形AECF是菱形，
∴當(dāng)EF=AC時(shí)，四邊形AECF是正方形．

點(diǎn)評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了特殊四邊形的判定與性質(zhì)．