Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為5的菱形OABC中，sin∠AOC＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)在x軸的正半軸上，B，C兩點(diǎn)都在第一象限．點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度沿O→A→B→C→O運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．請(qǐng)解答下列問題：

（1）當(dāng)CP⊥OA時(shí)，求t的值；

（2）當(dāng)t＜10時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（結(jié)果用含t的代數(shù)式表示）；

（3）以點(diǎn)P為圓心，以O(shè)P為半徑畫圓，當(dāng)⊙P與菱形OABC的一邊所在直線相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）t＝3；（2）P（t+2，t﹣4）；（3）t的值為秒或4秒或16秒或秒

【解析】

（1）如圖1，過點(diǎn)C作CP⊥OA，交x軸于點(diǎn)P．就可以求出OP的值，由勾股定理就可以求出的OP值，進(jìn)而求出結(jié)論；
（2）t＜10時(shí)，P在OA或AB上運(yùn)動(dòng)，所以分兩種情況：①當(dāng)0≤t≤5時(shí)，如圖1，點(diǎn)P在OA上，OP=t，可得P的坐標(biāo)；②當(dāng)5＜t＜10時(shí)，如圖2，點(diǎn)P在AB上，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)定義可得P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)切點(diǎn)為G，連接PG，分⊙P與四邊相切，其中P在AB和BC時(shí)，與各邊都不相切，所以分兩種情況：
①當(dāng)P在OA上時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)列式可得t的值；
②當(dāng)P在OC上時(shí)，同理可得結(jié)論．

（1）如圖1，

當(dāng)CP⊥OA時(shí)，sin∠AO

在Rt△OPC中，OC＝5，PC＝4，則OP＝3，

∴

（2）當(dāng)0≤t≤5時(shí)，如圖1，點(diǎn)P在OA上，

∴P（t，0）；

當(dāng)5＜t＜10時(shí)，如圖2，點(diǎn)P在AB上，

過P作PH⊥x軸，垂足為H，

則∠AOC＝∠PAH，

∴sin∠PAH＝sin∠AO

∴

∴

（3）設(shè)切點(diǎn)為G，連接PG，

分兩種情況：

①當(dāng)P在OA上時(shí)，如圖3，

⊙P與直線AB相切，

∵OC∥AB，

∴∠AOC＝∠OAG，

∴sin∠AOC＝sin∠OA

∴

⊙P與BC相切時(shí)，如圖4，

則PG＝t＝OP＝4；

②當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，

⊙P與AB相切時(shí)，如圖5，

∴OP＝PG＝4，

∴4×5﹣t＝4，

t＝16，

⊙P與直線BC相切時(shí)，如圖6，

∴PG⊥BC，

∵BC∥AO，

∴∠AOC＝∠GCP，

∴sin∠AOC＝sin∠GC

∵OP＝PG＝20﹣t，

∴

∴

綜上所述，t的值