Question

如圖一，平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(10，0)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，6)，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B，C不重合)，現(xiàn)將△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直線(xiàn)DG、DF重合。

(1)如圖二，若翻折后點(diǎn)F落在OA邊上，求直線(xiàn)DE的函數(shù)關(guān)系式；

    (2)設(shè)D(a，6)，E(10，b)，求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求b的最小值；

    (3)一般地，請(qǐng)你猜想直線(xiàn)DE與拋物線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在圖二的情形中通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你的猜想；如果直線(xiàn)DE與拋物線(xiàn)始終有公共點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D一中作出這樣的公共點(diǎn)。

     

 

 

Answer 1

【答案】

（1）y=-x+12（2）當(dāng)a=5時(shí)，b_最小值=（3）見(jiàn)解析

【解析】（1）y=-x+12。

   （2）當(dāng)a=5時(shí)，b_最小值=

   （3）猜想：直線(xiàn)DE與拋物線(xiàn)

證明：由（1）可知，DE所在直線(xiàn)為y=-x+12。

      代入拋物線(xiàn)，得

     化簡(jiǎn)得x²-24x+144=0，所以△=0。

     所以直線(xiàn)DE與拋物線(xiàn)

作法一：延長(zhǎng)OF交DE于點(diǎn)H。

作法二：在DB上取點(diǎn)M，使DM=CD，過(guò)M作MH⊥BC，交DE于點(diǎn)H。

（1）當(dāng)F落在OA上時(shí)，四邊形OCDF和四邊形DGEB都是正方形，因此CD=DF=OC=6，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，6），而GF=DF-DG=DF-（BC-CD）=6-（10-6）=2，因此E點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，2）．然后可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)DE的解析式．

（2）根據(jù)D、E的坐標(biāo)可知：CD=a，BE=6-b，BD=BC-CD=10-a，可根據(jù)相似三角形△OCD和△DBE得出的關(guān)于OC、CD、DB、BE的比例關(guān)系式求出b、a的函數(shù)關(guān)系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出b的最小值及對(duì)應(yīng)的a的值．

（3）可將（1）中得出的直線(xiàn)DE的解析式聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，看得出的一元二次方程的根的判別式△的值與0的關(guān)系即可得出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．