【題目】已知:ABC,BAC=90°,AB=AC,AE是過點A的一條直線,BDAED,CEAEE.

(1)當直線AE處于如圖①的位置時,BD=DE+CE,請說明理由;

(2)當直線AE處于如圖②的位置時,BDDE、CE的關系如何?請說明理由;

(3)歸納(1)(2),請用簡潔的語言表達BD、DE、CE之間的關系.

【答案】1)見解析 (2)見解析 (3BD=DE-CE

【解析】

此題考查了全等三角形的判定與性質,以及等腰直角三角形的性質,利用了轉化及等量代換的思想,熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

1)由BD垂直于AE,得到三角形ABD為直角三角形,利用直角三角形兩銳角互余得到一對角互余,再由∠BAC=90°,得到一對角互余,利用同角的余角相等得到一對角相等,再由一對直角相等,AB=AC,利用AAS可得出三角形ABD與三角形ACE全等,由全等三角形的對應邊相等得到AD=CE,BD=AE,由AE=AD+DE,等量代換即可得證;

2)當直線AE處于如圖的位置時,則BD、DE、CE的關系為BD=DE-CE,理由為:同(1)得出三角形ABD與三角形ACE全等,由全等三角形的對應邊相等得到AD=CE,BD=AE,由AE=DE-AD等量代換即可得證;

3)由(1)(2)總結得到當D、E位于直線BC異側時,BD=DE+CE;當D、E位于直線BC同側時,BD=DE-CE

解:(1)證明:∵BD⊥AE,CE⊥AE,

∴∠BDA=∠AEC=90°∴∠ABD+∠BAD=90°,

∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC

△ABD△CAE

∴△ABD≌△CAEAAS

∴AD=CE,BD=AE

∵AE=AD+DE,

∴BD=DE+CE

2BD、DE、CE的關系為BD=DE-CE,理由為:

證明:在△ABD△CAE

∴△ABD≌△CAEAAS

∴AD=CE,BD=AE

∵AE=DE-AD,

∴BD=DE-CE;

3)當DE位于直線BC異側時,BD=DE+CE;當D、E位于直線BC同側時,BD=DE-CE

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