Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中A（1，4），B（3，2），C、D為x軸上兩動點(diǎn)，且CD=1，試求四邊形ACDB周長最小時(shí)，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，則A′的坐標(biāo)為（1，-4），把A′向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B′（2，-4），連接BB′，與x軸交于點(diǎn)D，易得四邊形A′B′DC為平行四邊形，得到CA′=DB′=CA，則AC+BD=BB′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)AC+BD最小，即四邊形ABDC的周長最短．然后用待定系數(shù)法求出直線BB′的解析式y(tǒng)=6x-16，易得D點(diǎn)坐標(biāo)為（

8

3

，0），則根據(jù)CD=1即可求得C的坐標(biāo)為（

5

3

，0）．

解答：解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，則A′的坐標(biāo)為（1，-4），把A′向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B'（2，-4），連接BB′，與x軸交于點(diǎn)D，過A′作A′C∥B′D交x軸于C，如圖，
∴CA′=CA，
∵A′B′∥CD，
∴四邊形A′B′DC為平行四邊形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此時(shí)AC+BD最小，
而CD與AB的長一定，
∴此時(shí)四邊形ABDC的周長最短．
設(shè)直線BB′的解析式為y=kx+b，
把B（3，2）、B'（2，-4）分別代入得

3k+b=2 2k+b=-4

，
解得k=6，b=-16，
∴直線BB′的解析式為y=6x-16，
令y=0，則6x-16=0，
解得x=

8

3

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

8

3

，0），
∵CD=1，
∴C（

5

3

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了軸對稱-最短路線問題：通過對稱，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題．也考查了坐標(biāo)變換以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．