Question

【題目】已知如圖1，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，直線垂直于直線于點(diǎn)，交于點(diǎn).

（1）求證：.

（2）如圖2，直線垂直于直線，垂足為點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）首先根據(jù)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；

（2）根據(jù)垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據(jù)AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進(jìn)而證明出BE=CM．

（1）∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．

又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．

又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．

在△AEC和△CGB中，∵，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；

（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC．

在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．