Question

19．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，且CE=$\frac{1}{3}$CD，過點(diǎn)B作BF∥DE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：AB=BG；
（2）若點(diǎn)P是直線BG上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使△BCP與△BCD相似．

Answer 1

分析 （1）利用平行分線段成比例定理得出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{CG}$=$\frac{AE}{EF}$，進(jìn)而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；
（2）分別利用第一種情況：若∠CDB=∠CPB，第二種情況：若∠PCB=∠CDB，進(jìn)而求出相似三角形即可得出答案．

解答 （1）證明：∵BF∥DE，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{CG}$=$\frac{AE}{EF}$，
∵AD=BD，
∴AC=CG，AE=EF，
在△ABC和△GBC中：
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CG}\\{∠ACB=∠GCB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△GBC（SAS），
∴AB=BG；

（2）解：當(dāng)BP長(zhǎng)為$\frac{5}{2}$或$\frac{32}{5}$時(shí)，△BCP與△BCD相似；
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴CD=2.5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵DE∥BF，
∴∠DCB=∠CBP，
∴∠DBC=∠CBP，
第一種情況：若∠CDB=∠CPB，如圖1：

在△BCP與△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠CPB}\\{∠DBC=∠PBC}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△BCD（AAS），
∴BP=CD=2.5；
第二種情況：若∠PCB=∠CDB，過C點(diǎn)作CH⊥BG于H點(diǎn)．如圖2：

∵∠CBD=∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∵CH⊥BG，
∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，
∴△ABC∽△CBH，
∴$\frac{AB}{CB}$=$\frac{BC}{BH}$，
∴BH=$\frac{16}{5}$，BP=$\frac{32}{5}$．
綜上所述：當(dāng)PB=2.5或$\frac{32}{5}$時(shí)，△BCP與△BCD相似．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確利用分類討論分析是解題關(guān)鍵．