Question

9．如圖，將矩形紙片AFCD沿對(duì)角線AC折疊得到如圖所示的圖形，AB與CD交于點(diǎn)E．
（1）若AB=8，AD=4，求AE的長(zhǎng)；
（2）P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，若PM+PN=8，DE=6，求△AEC的面積．

Answer 1

分析 （1）先補(bǔ)全矩形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠BAC=∠B′AC，再根據(jù)矩形的對(duì)邊互相平行可得AB′∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠B′AC=∠ACD，從而得到∠ACD=∠BAC，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AE=CE，設(shè)AE=CE=x，表示出DE，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）過點(diǎn)P作PM′⊥AB′于M′，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PM=PM′，然后根據(jù)等角的余角相等求出∠APM′=∠CPN，判斷出點(diǎn)M′、P、N三點(diǎn)共線，從而得到AD=PM+PN，再利用勾股定理列式求出AE，最后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）補(bǔ)全矩形ABCD如圖所示，
由翻折的性質(zhì)得，∠BAC=∠B′AC，
∵矩形ABCD的邊AB′∥CD，
∴∠B′AC=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AE=CE，
設(shè)AE=CE=x，
則DE=CD-CE=AB-CE=8-x，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴AE=5；

（2）過點(diǎn)P作PM′⊥AB′于M′，
∵∠BAC=∠B′AC，PM⊥AB，
∴PM=PM′，
∵PN⊥CD，
∴∠ACD+∠CPN=90°，
又∵∠B′AC+∠APM′=90°，
∴∠APM′=∠CPN，
∴M′、P、N三點(diǎn)共線，
∵PM+PN=4，
∴PM+PN=PM′+PN=AD=4，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴CE=AE=10，
∴△AEC的面積=$\frac{1}{2}$CE•AD=$\frac{1}{2}$×10×8=40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出矩形，并求出PM+PN的長(zhǎng)度等于矩形的邊AD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．