Question

請(qǐng)先閱讀下面的內(nèi)容，再解答下列的題目．
若二次函數(shù)f（x）=-

1

2

x²-5x+

3

2

，則
f（-2）=-

1

2

×（-2）²-5×（-2）+

3

2

=-2+10+

3

2

=9

1

2

f（3）=-

1

2

×32-5×3+

3

2

=-18
題目：二次函數(shù)f（x）=x²+x-1，對(duì)所有非零實(shí)數(shù)a有f（a）+f（

2

a

）=0．
（1）求a的值；
（2）已知關(guān)于x的方程

x+k

-

2x-4

=a，有一個(gè)增根4，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的新定義運(yùn)算列出關(guān)于a的方程，通過解方程來求a的值即可；
（2）根據(jù)二次根式有意義的條件知4+k＜0．

解答：解：（1）根據(jù)題意知，f（a）+f（

2

a

）=a²+a-1+（

2

a

）²+

2

a

-1=0，即（a+

2

a

-2）（a+

2

a

+3）=0，
所以，a+

2

a

=2，或a+

2

a

=-3．
解得，a₁=-1，a₂=-2；

（2）①當(dāng)a=-1時(shí)，

x+k

-

2x-4

=-1．
兩邊平方，得
x+k-2

x+k

•

2x-4

+2x-4=1，
移項(xiàng)，得
2

x+k

•

2x-4

=3x+k-5，
兩邊平方，得
4（x+k）（2x-4）=（3x+k-5）²，
∵關(guān)于x的方程

x+k

-

2x-4

=a，有一個(gè)增根4，
∴4（4+k）（2×4-4）=（3×4+k-5）²，即（k+3）（k-5）=0，
解得，k=-3或k=5．
當(dāng)k=-3，x=4時(shí)，原方程成立，即x=4是原方程的根，所以k=-3不符合題意；
當(dāng)k=5，x=4時(shí)，原方程不成立，即x=4是原方程的增根，所以k=5符合題意；
②當(dāng)a=-1時(shí)，

x+k

-

2x-4

=-1．
兩邊平方，得
x+k-2

x+k

•

2x-4

+2x-4=4，
移項(xiàng)，得
2

x+k

•

2x-4

=3x+k-8，
兩邊平方，得
4（x+k）（2x-4）=（3x+k-8）²，
∵關(guān)于x的方程

x+k

-

2x-4

=a，有一個(gè)增根4，
∴4（4+k）（2×4-4）=（3×4+k-8）²，即16（k+4）=k+4，
顯然，此時(shí)的等式不成立．
綜上所述，k的值是5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．增根問題可按如下步驟進(jìn)行：
①化無理方程為整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．