Question

如圖，在RT△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=1，又E，D為CB的三等分點(diǎn)．
（1）圖中是否存在相似三角形，若存在，找出并證明相似的三角形；若不存在，試說明理由．
（2）比較∠ADC與∠AEC+∠B的大小，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）存在，△ADE∽△BDA．∵AC=CD=DE=EB=1，∠C=90°，利用勾股定理易求AD=

2

，從而可求

DE

AD

=

1

2

=

2

2

；

DA

BD

=

2

2

，那么DE：AD=DA：BD，又∠ADE=∠BDA，那么可證△ADE∽△BDA；（2）
由于△ADE∽△BDA，利用形似三角形的性質(zhì)可知∠DAE=∠B，再由三角形外角定義可知∠ADC=∠AEC+∠DAE，等量代換即可證明．

解答：解：（1）△ADE∽△BDA．
理由：∵AC=CD=DE=EB=1，
又∠C=90°，
∴AD=

2

，
∴

DE

AD

=

1

2

=

2

2

；

DA

BD

=

2

2

，
∴

DE

AD

=

DA

BD

，
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA；

（2）已證△ADE∽△BDA，
∴∠DAE=∠B，
又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，
∴∠ADC=∠AEC+∠B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角定義，如果兩個(gè)三角形兩組對應(yīng)邊成比例，且夾角相等則兩三角形相似．