【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E為AC邊的一點(diǎn),F為AB邊上一點(diǎn),連接CF,交BE于點(diǎn)D,且∠ACF=∠CBE,CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G,
(1)如圖1,求證:CF=BG;
(2)如圖2,延長(zhǎng)CG交AB于H,連接AG,過(guò)點(diǎn)C作CP∥AG交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,
求證:PB=CP+CF;
(3)如圖3,在(2)間的條件下,當(dāng)∠GAC=2∠FCH時(shí),若S△AEG=3,BG=6,求AC的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)詳解;(2)見(jiàn)詳解;(3)3+3
【解析】
(1)根據(jù)ASA證明△BCG≌△CAF,則CF=BG;
(2)先證明△ACG≌△BCG,得∠CAG=∠CBE,再證明∠PCG=∠PGC,即可得出結(jié)論;
(3)作△AEG的高線EM,根據(jù)角的大小關(guān)系得出∠CAG=30°,根據(jù)面積求出EM的長(zhǎng),利用30°角的三角函數(shù)值依次求AE、EG、BE的長(zhǎng),所以CE=3+,根據(jù)線段的和得出AC的長(zhǎng).
解::(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=45°,
∵CG平分∠ACB,
∴∠ACG=∠BCG=45°,
∴∠A=∠BCG,
在△BCG和△CAF中,
,
∴△BCG≌△CAF(ASA),
∴CF=BG;
(2)∵PC∥AG,
∴∠PCA=∠CAG,
∵AC=BC,∠ACG=∠BCG,CG=CG,
∴△ACG≌△BCG,
∴∠CAG=∠CBE,
∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°,
∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°,
∴∠PCG=∠PGC,
∴PC=PG,
∵PB=BG+PG,BG=CF,
∴PB=CF+CP;
過(guò)E作EM⊥AG,交AG于M,
∵S△AEG=AGEM=3 ,
由(2)得:△ACG≌△BCG,
∴BG=AG=6,
∴×6×EM=3,
EM=,
設(shè)∠FCH=x°,則∠GAC=2x°,
∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°,
∵∠ACH=45°,
∴2x+x=45,
x=15,
∴∠ACF=∠GAC=30°,
在Rt△AEM中,AE=2EM=2,
∴M是AG的中點(diǎn),
∴AE=EG=2,
∴BE=BG+EG=6+2,
在Rt△ECB中,∠EBC=30°,
∴CE=BE=3+,
∴AC=AE+EC=2+3+=3+3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知CD平分∠ACB,∠1=∠2.
(1)求證:DE∥AC;
(2)若∠3=30°,∠B=25°,求∠BDE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC和△DBC都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.
(1)以圖1中的某個(gè)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)△DBC,就能使△DBC與△ABC重合,則滿足題意的點(diǎn)為: (寫出符合條件的所有點(diǎn));
(2)將△DBC沿BC方向平移得到△D1B1C1,如圖2、圖3,則四邊形ABD1C1是平行四邊形嗎?證明你的結(jié)論;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)BB1= 時(shí),四邊形ABD1C1為矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】晚上,小亮走在大街上.他發(fā)現(xiàn):當(dāng)他站在大街兩邊的兩盞路燈之間,并且自己被兩邊路燈照在地上的兩個(gè)影子成一直線時(shí),自己右邊的影子長(zhǎng)為3米,左邊的影子長(zhǎng)為1.5米.又知自己身高1.80米,兩盞路燈的高相同,兩盞路燈之間的距離為12米,則路燈的高為 米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、 B的坐標(biāo)分別為(0,2),(1,0),直線y=x3與y軸交于點(diǎn)C, 與x軸交于點(diǎn)D,
(1)求直線AB與CD交點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)求四邊形OBEC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校七年級(jí)開(kāi)展征文活動(dòng),征文主題只能從“愛(ài)國(guó)”“敬業(yè)”“誠(chéng)信”“友善”四個(gè)主題中選擇一個(gè),七年級(jí)每名學(xué)生按要求都上交了一份征文,學(xué)校為了解選擇各種征文主題的學(xué)生人數(shù),隨機(jī)抽取了部分征文進(jìn)行了調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,選擇“愛(ài)國(guó)”主題所對(duì)應(yīng)的圓心角是多少度?
(3)如果該校七年級(jí)共有1200名考生,請(qǐng)估計(jì)選擇以“友善”為主題的七年級(jí)學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠MON=30°,B為OM上一點(diǎn),BA⊥ON于點(diǎn)A,四邊形ABCD為正方形,P為射線BM上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)CP,將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得CE,連接BE,若AB=2,則BE的最小值為( )
A. +1B. 2﹣1C. 3D. 4﹣
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,,點(diǎn)E在邊CD上,且,與關(guān)于AE所在的直線成對(duì)稱圖形以點(diǎn)A為中心,把順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,連接GF,則線段GF的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC與△A′B′C′在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.
(1)分別寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo): A′ ;B′ ;C′ ;
(2)若點(diǎn)P(a,b)是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),則平移后△A′B′C′內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為 ;
(3)求△ABC的面積.
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