Question

已知x₁，x₂是x²+2（m+3）x+2m+4=0的兩實根，且滿足y=（x₁-1）²+（x₂-1）²，則y的最小值為

 

．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：根據(jù)方程有兩個根，利用根的判別式求出m的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂=-2（m+3），x₁x₂=2m+4，然后把y=（x₁-1）²+（x₂-1）²整理成x₁+x₂與x₁x₂的形式，代入進行計算即可求解．

解答：解：∵△=[2（m+3）]²-4（2m+4）≥0，
即m²+4m+5≥0，
∴m為任意實數(shù)．
由x₁+x₂=-2（m+3），x₁x₂=2m+4，
y=（x₁-1）²+（x₂-1）²
=x₁²-2x₁+1+x₂²-2x₂+1
=（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2（x₁+x₂）+2
=[-2（m+3）]²-2（2m+4）-2×[-2（m+3）]+2
=4m²+24m+42
=4（m+3）²+6，
∴m=-3時，y的最小值為6．
故答案為6．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，同時考查了二次函數(shù)的最值，根的判別式．