【題目】在△ABC中, , .將△ABC繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△A1B1C.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)恰好在線段的延長線上時(shí),
①求證:BB1∥CA1;
②求△AB1C的面積;
(2)如圖2,點(diǎn)是上的中點(diǎn),點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).在△ABC繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是.求線段長度的最大值與最小值的差.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】試題分析:(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明;
②過A作AF⊥BC于F,過C作CE⊥AB于E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答;
(2)過C作CF⊥AB于F,以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1,和以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1,得出最大和最小值解答即可.
試題解析:(1)①證明:∵AB=AC,B1C=BC,
∴∠AB1C=∠B,∠B=∠ACB,
∵∠AB1C=∠ACB(旋轉(zhuǎn)角相等),
∴∠B1CA1=∠AB1C,
∴BB1∥CA1;
②過A作AF⊥BC于F,過C作CE⊥AB于E,如圖1:
∵AB=AC,AF⊥BC,BC=6,
∴BF=CF=3,
∴B1C=BC=6,
可得:B1B=2BE,
∵EC=,
∴BE=,則BB1=,
故AB1=﹣5=,
∴△AB1C的面積為: ;
(2)如圖2,過C作CF⊥AB于F,以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1,EF1有最小值,
此時(shí)在Rt△BFC中,CF=,
∴CF1=,
∴EF1的最小值為﹣3=;
如圖,以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1,EF1有最大值;
此時(shí)EF1=EC+CF1=3+6=9,
∴線段EF1的最大值與最小值的差為9﹣=.
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