Question

（2013•閔行區(qū)二模）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+3的圖象與y軸相交于點(diǎn)A，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B（1，0），D為頂點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將上述二次函數(shù)的圖象沿y軸向上或向下平移，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C在一次函數(shù)y=x+3的圖象上，求平移后所得圖象的表達(dá)式；
（3）設(shè)點(diǎn)P在一次函數(shù)y=x+3的圖象上，且S_△ABP=2S_△ABC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A（0，3）、B（1，0）代入二次函數(shù)y=-x²+bx+c，可得方程組，解方程組求解即可得到二次函數(shù)的解析式；
（2）平移后的圖象解析式為y=-（x+1）²+k．根據(jù)點(diǎn)C（-1，k）在一次函數(shù)y=x+3的圖象上，可得關(guān)于k 的方程，求得k的值，從而即可求出平移后所得圖象的表達(dá)式；
（3）先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到AC的長(zhǎng)，由S_△ABP=2S_△ABC，可得AP=2AC，再分（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)；兩種情況討論即可求解．

解答：解：（1）∵由x=0，得y=3．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（0，3）．
∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3）、B（1，0），
∴

c=3 -1+b+c=0

，
解得

b=-2 c=3

．
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-x²-2x+3．頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（-1，4）．

（2）設(shè)平移后的圖象解析式為y=-（x+1）²+k．
根據(jù)題意，可知點(diǎn)C（-1，k）在一次函數(shù)y=x+3的圖象上，
則-1+3=k
解得k=2．
故所求圖象的表達(dá)式為y=-（x+1）²+2．

（3）設(shè)直線x=-1與x軸交于點(diǎn)E．
由（2）得  C（-1，2）．
又由  A（0，3），得AC=

(-1-0)2+(2-3)2

=

2

．
根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（m，m+3）．
∵△ABP與△ABC同高，
于是，當(dāng)S_△ABP=2S_△ABC時(shí)，得AP=2AC=2

2

．
此時(shí)，有兩種不同的情況：
（�。┊�(dāng)點(diǎn)P在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，得CP=CA+AP=3

2

，且m＞0．
過(guò)點(diǎn)P作PQ₁垂直于x軸，垂足為點(diǎn)Q₁．
易得

EO

CA

=

OQ1

AP

．

1

2

=

m

2 2

，
解得m=2．
m+3=5．
∴P₁（2，5）．
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，得 CP=AP-CA=

2

，且m＜0．
過(guò)點(diǎn)P作PQ₂垂直于x軸，垂足為點(diǎn)Q₂．
易得

OE

AC

=

EQ2

PC

．

1

2

=

-1-m

2

，
解得m=-2．
m+3=1．
∴P₂（-2，1）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）或（-2，1）．
另解：（3）由（2）得  C（-1，2）．
又由 A（0，3），得AC=

(-1-0)2+(2-3)2

=

2

．
根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（m，m+3）．
∵△ABP與△ABC同高，
于是，當(dāng)S_△ABP=2S_△ABC時(shí)，得AP=2AC=2

2

 
∴AP²=8．
即得m²+（m+3-3）²=8．
解得m₁=2，m₂=-2．
∴m+3=5或1．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）或（-2，1）．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平移的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，分類(lèi)思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．