Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，且AD=3cm，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x s．作∠DEF=45°，與邊BC相交于點(diǎn)F．設(shè)BF長(zhǎng)為ycm．
（1）當(dāng)x=______

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠A=∠B=45°，因?yàn)锳D=3，由勾股定理求出AE長(zhǎng)；
（2）由∠ADE+∠AED=135°和∠BEF+∠AED=135°推出∠ADE=∠BEF，證出△ADE∽△BEF，得到=，代入即可；
（3）①如圖，若EF=BF，由相似得到AE=DE=，求出t；②如圖，若EF=BE，由相似求出AE，即可求出t；③若BF=BE，則∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可求出t．
解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∵AD=3，
由勾股定理得：AE=，
故答案為：．

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，
AB=4，
∴∠ADE+∠AED=135°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF+∠AED=135°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF，
∴=，
∴=，
∴y=-x²+x，
∴y=-x²+x=-（x-2）²+
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值=，
∵從運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中可以得出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程正好是2BF，
∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路程為2×=cm，
答：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-x²+x，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為cm．

（3）這里有三種情況：
①如圖，若EF=BF，則∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE=，
∵動(dòng)點(diǎn)E的速度為1cm/s，
∴此時(shí)x=；
②如圖，若EF=BE，則∠B=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3，
∵動(dòng)點(diǎn)E的速度為1cm/s
∴此時(shí)x=3；
③如圖，若BF=BE，則∠FEB=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3，
∵動(dòng)點(diǎn)E的速度為1cm/s，
∴此時(shí)x=3．
綜上所述，當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，x的值為或3或3．
答：x的值為或3或3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．