Question

【題目】如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF．

（1） 求證：PC是⊙O的切線；

（2） 點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使，為什么?

（3） 在（2）的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時(shí)，才能使，理由見解析；（3）4.

【解析】

（1）連結(jié)OC，證明∠OCP=90°即可；

（2）乘積的形式可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過(guò)證明三角形相似得出；

（3）可以先根據(jù)勾股定理得出DH，再通過(guò)證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長(zhǎng)．

（1）證明：連結(jié)OC

∵PC=PF，OA=OC

∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC

∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB

∴∠AHF=90°

∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°

∴PC是⊙O的切線．

（2）解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時(shí)，才能使，理由如下：

連結(jié)AE

∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置

∴∠DAF=∠DEA

∵∠ADE=∠ADE

∴△DAF∽△DEA

∴AD∶DE=DF∶AD

∴

（3）解：連結(jié)OD交AC于G

∵OH=1，AH=2

∴OA=3

即OD=3

∴DH=

∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置

∴AC⊥DO

∴∠OGA=∠OHD=90°

在△OGA和△OHD中，

∴△OGA≌△OHD（AAS）

∴AG=DH

∴AC=4．