Question

10．如圖，在△ABC中，以BC為直徑作⊙O，分別交AB、AC邊于點D、E，且$\widehat{BE}$=$\widehat{EC}$．
（1）如圖1，求證：∠ACB=45°；
（2）如圖2，過點A作AF⊥BC于點F，交CD弦于點G，求證：AG=2OF；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接GE、GO、DE，若GE⊥GO，⊙O的半徑為$\sqrt{5}$，求弦DE的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接BE，只要證明△BEC是等腰直角三角形即可．
（2）如圖2中，只要證明△FBA≌△FGC，得FG=BF，根據(jù)AG=AF-FG=CF-BF=OC+OF-BF=OB+OF-BF=OF+OF=2OF即可解決問題．
（3）如圖3中，作EH⊥AF于H，EM⊥CD于M，連接OE，首先證明∠AEG=90°，△EGO、△DEM是等腰直角三角形、求出EM即可解決問題、

解答 （1）證明：如圖1中，連接BE．

∵BC 是直徑，
∴∠BEC=90°，
∵$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-90°）=45°．

（2）證明：如圖2中，

∵∠ACB=45°，AF⊥BC，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴∠CAF=45°=∠ACB，
∴AF=CF，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∵∠FGC+∠BCD=90°，
∴∠B=∠FGC，
在△FBA和△FGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FGC}\\{∠AFB=∠GFC}\\{AF=FC}\end{array}\right.$，
∴△FBA≌△FGC，
∴FG=BF，
∴AG=AF-FG=CF-BF=OC+OF-BF=OB+OF-BF=OF+OF=2OF．

（3）如圖3中，作EH⊥AF于H，EM⊥CD于M，連接OE．

∴∠EHA=∠EHG=90°，
∵∠BOE=2∠ACB=90°，∠AFC=90°，
∴四邊形EHFO是矩形，
∴EH∥BC，EH=OF，
∴∠AEH=∠ACF=45°，
∴AH=EH=OF，
∵AG=2OF，
∴HG=AH=EH，
∴∠AEH=∠HEG=45°，
∴∠AEG=90°，
∵GE⊥GO，
∴∠OGE=90°，
∴∠FGO=180°-45°-90°=45°，
∴OF=FG=BF，
∵⊙O半徑為$\sqrt{5}$，
∴OE=OC=$\sqrt{5}$，
∴CE=$\sqrt{10}$，OG=GE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴tan∠DCE=$\frac{1}{2}$，
∴CM=2EM，
∴EM=$\sqrt{2}$，
∵∠EDM=$\frac{1}{2}$∠EOC=45°，
∴DE=$\sqrt{2}$EM=2．

點評 本題考查圓的綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形或特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．