Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是$\widehat{AE}$上一點(diǎn)，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點(diǎn)F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BD平分∠ABE，求證：DE²=DF•DB；
（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)ED、BA交于點(diǎn)P，若PA=AO，DE=2，求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得到∠AEB=90°，∠EAB=∠BDE，而∠BDE=∠CBE，則∠CBE+∠ABE=90°，則根據(jù)切線的判定方法可判斷BC是⊙O的切線；
（2）證明△DFE∽△DEB，然后利用相似比可得到結(jié)論；’
（3）連結(jié)DE，先證明OD∥BE，則可判斷△POD∽△PBE，然后利用相似比可得到關(guān)于PD的方程，再解方程求出PD即可．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，
∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）證明：∵BD平分∠ABE，
∴∠1=∠2，
而∠2=∠AED，
∴∠AED=∠1，
∵∠FDE=∠EDB，
∴△DFE∽△DEB，
∴DE：DF=DB：DE，
∴DE²=DF•DB；
（3）連結(jié)OD，如圖，
∵OD=OB，
∴∠2=∠ODB，
而∠1=∠2，
∴∠ODB=∠1，
∴OD∥BE，
∴△POD∽△PBE，
∴$\frac{PD}{PE}$=$\frac{PO}{PB}$，
∵PA=AO，
∴PA=AO=BO，
∴$\frac{PD}{PE}$=$\frac{2}{3}$，即$\frac{PD}{PD+2}$=$\frac{2}{3}$，
∴PD=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線的判定方法；運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)解決線段之間的關(guān)系．通過相似比得到PD的方程可解決（3）小題．