Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E在BC上，連結(jié)BD，DE，∠CDE=∠ABD．
（1）證明：DE是⊙O的切線；
（2）若BD=12，sin∠CDE=

5

13

，求圓O的半徑和AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得∠ADO+∠ODB=90°，再由OB=OD得∠OBD=∠ODB，則∠ADO+∠ABD=90°，由于∠CDE=∠ABD，所以∠ADO+∠CDE=90°，然后根據(jù)平角的定義得∠ODE=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；
（2）由于∠CDE=∠ABD，則sin∠CDE=sin∠ABD=

5

13

，在Rt△ABD中，根據(jù)正弦的定義得sin∠ABD=

AD

AB

=

5

13

，設(shè)AD=5x，則AB=13x，由勾股定理得BD=12x，所以12x=12，解得x=1，得到AB=13，則圓O的半徑為

13

2

；再連結(jié)OC，如圖，由于CA=CB，OA=OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CO⊥AB，則利用等角的余角相等可得到∠ACO=∠ABD，然后在Rt△ACO中，利用∠ACO的正弦可計(jì)算出AC的長．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ADO+∠ABD=90°，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵∠CDE=∠ABD，
∴sin∠CDE=sin∠ABD=

5

13

，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=

AD

AB

=

5

13

，
設(shè)AD=5x，則AB=13x，
∴BD=

AB2-AD2

=12x，
∴12x=12，解得x=1，
∴AB=13，
∴圓O的半徑為

13

2

；
連結(jié)OC，如圖，
∵CA=CB，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABD，
在Rt△ACO中，∵sin∠ACO=

OA

AC

=

5

13

，
∴AC=

13

5

×

13

2

=

169

10

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了解直角三角形．