【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點A(1,0),B(2,0),C(0,﹣2),直線x=m(m>2)與x軸交于點D.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在直線x=m(m>2)上有一點E(點E在第四象限),使得E、D、B為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似,求E點坐標(用含m的代數(shù)式表示);
(3)在(2)成立的條件下,拋物線上是否存在一點F,使得四邊形ABEF為平行四邊形?若存在,請求出F點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+3x﹣2;
(2)E點坐標為E1(m, ),E2(m,4﹣2m);
(3)F點的坐標為:F1(,﹣),F(xiàn)2(4,﹣6).
【解析】試題分析:
(1)已知拋物線經(jīng)過三個點,則可設(shè)拋物線的解析式為一般式,再將三個點的坐標代入到一般式中,得到三元一次方程組即可求解;
(2)△AOC與△BDE都是直角三角形,除直角外,其它的對應(yīng)關(guān)系不確定,所以應(yīng)分兩類討論,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出E點的坐標;
(3)A,B是兩個確定的點,E點的坐標中含有m也可看作是確定的點,則可根據(jù)三個點的坐標,確定第四個點F的坐標,而點F在拋物線上,把F點的坐標代入到拋物線中得到關(guān)于m的方程,則可求出點F的坐標.
解:(1)將點A(1,0),B(2,0),C(0,﹣2)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,得
解得a=﹣1,b=3,c=﹣2.
∴y=﹣x2+3x﹣2.(2分)
(2)∵AO=1,CO=2,BD=m﹣2,
當△EDB∽△AOC時,得=,
即=,解得ED=,
∵點E在第四象限,
∴E1(m,),
當△BDE∽△AOC時, =時,即=,
解得ED=2m﹣4,
∵點E在第四象限,
∴E2(m,4﹣2m);
所以有E1(m,),E2(m,4﹣2m).
(3)假設(shè)拋物線上存在一點F,使得四邊形ABEF為平行四邊形,則
EF=AB=1,點F的橫坐標為m﹣1,
當點E1的坐標為(m,)時,點F1的坐標為(m﹣1,),
∵點F1在拋物線的圖象上,
∴=﹣(m﹣1)2+3(m﹣1)﹣2,
∴2m2﹣11m+14=0,
∴(2m﹣7)(m﹣2)=0,
∴m=,m=2(舍去),
∴F1(,﹣),
當點E2的坐標為(m,4﹣2m)時,點F2的坐標為(m﹣1,4﹣2m),
∵點F2在拋物線的圖象上,
∴4﹣2m=﹣(m﹣1)2+3(m﹣1)﹣2,
∴m2﹣7m+10=0,
∴(m﹣2)(m﹣5)=0,∴m=2(舍去),m=5,
∴F2(4,﹣6).
所以F1(,﹣),F2(4,﹣6).
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【題目】一點A從數(shù)軸上表示+2的點開始移動,第一次先向左移動1個單位,再向右移動2個單位;第二次先向左移動3個單位,再向右移動4個單位;第三次先向左移動5個單位,再向右移動6個單位……
(1)寫出第一次移動后這個點在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
(2)寫出第二次移動后這個點在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
(3)寫出第五次移動后這個點在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
(4)寫出第次移動結(jié)果這個點在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
(5)如果第次移動后這個點在數(shù)軸上表示的數(shù)為56,求的值.
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【題目】拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D(﹣1,2),與x軸的一個交點A在點(﹣3,0)和
(﹣2,0)之間,其部分圖象如下圖,則以下結(jié)論:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數(shù)根.其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
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【題目】(9分)已知代數(shù)式(ax-3)(2x+4)-x2-b化簡后,不含x2項和常數(shù)項.
(1)求a,b的值;
(2)求(2a+b)2-(a-2b)(a+2b)-3a(a-b)的值.
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【題目】如圖,AB是半圓O上的直徑,E是的中點,OE交弦BC于點D,過點C作⊙O的切線交OE的延長線于點F,已知BC=8,DE=2.
(1)求⊙O的半徑;
(2)求CF的長.
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【題目】現(xiàn)在網(wǎng)購已成為人們的一種消費方式,在2015年的“雙11”促銷活動中天貓和淘寶的支付交易額突破57000000000元,將數(shù)字57000000000用科學記數(shù)法表示為元.
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【題目】在平面直角坐標系中,點A(﹣3,4)關(guān)于y軸的對稱點為點B,連接AB,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖像經(jīng)過點B,過點B作BC⊥x軸于點C,點P是該反比例函數(shù)圖像上任意一點,過點P作PD⊥x軸于點D,點Q是線段AB上任意一點,連接OQ、CQ.
(1)點B的坐標是;k的值為
(2)判斷△QDC與△POD的面積是否相等,并說明理由.
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