Question

如圖，∠BAC=90°，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，恰好點(diǎn)D在BC上，連接CE．
（1）∠BAE與∠DAC有何關(guān)系？并說明理由；
（2）△ABD與△ACE有何關(guān)系？并說明理由；
（3）線段BC與CE在位置上有何關(guān)系？為什么？

Answer 1

分析：（1）它們的關(guān)系應(yīng)該是互補(bǔ)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠BAC、∠DAE都是直角，可根據(jù)這個(gè)條件以及角之間的關(guān)系來判斷．
（2）兩角的關(guān)系是相等，首先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：△ABD、△ACE是頂角相等的兩個(gè)等腰三角形，它們的三個(gè)角對應(yīng)相等，因此兩個(gè)三角形相似．
（3）由（2）知：∠ACE=∠ADB=∠B，由于∠ACE、∠B互余，因此∠ACE、∠ACB互余，故兩條線段互相垂直．

解答：解：（1）∠BAE與∠DAC互補(bǔ)；
理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°+（90°-∠DAC）=180°-∠DAC；
即∠BAE+∠DAC=180°，因此∠BAE、∠DAC互補(bǔ)．

（2）△ABD與△ACE相似；
理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE；
即∠ADB=∠B=

1

2

（180°-∠BAD），∠ACE=∠AEC=

1

2

（180°-∠CAE），
即∠ADB=∠ACE=∠B=∠AEC；
因此△ABD∽△ACE．

（3）線段BC與CE互相垂直，
理由如下：
由（2）知：∠ACE=∠B；
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
即線段BC、CE互相垂直．

點(diǎn)評：此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，是解答此題的關(guān)鍵．