Question

把Rt△ABC如圖放置在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，∠ABC=90°，若點A的坐標為（0，4），AO = 2OB，且∠OAB =∠BAC．

（1）求過點A、B、C三點的拋物線解析式；

（2）若一個動點P自OA的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點（設(shè)為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設(shè)為點F），最后運動到點A．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長；

（3）在AC上是否存在點Q，使得△QBC為等腰三角形，若存在，請直接寫出Q點的坐標，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）過點C作CD⊥x軸于D．

∵A（0，4），  AO=2BO

∴OB=2

∴B(2，0)        …………  1分

∵∠ABC=∠AOB=90°

∠OAB=∠BAC

 ∴△ABC∽△AOB

∴

∴

∵∠OBA+∠CBD=90°

∠OBA+∠OAB=90°

∴∠OAB=∠CBD

∵∠CDB=∠AOB=90°

∴△AOB∽△BDC

∴

∴BD=2， DC=1

∴C（4，1）          ………… 2分

∵拋物線過點A（0，4）

∴設(shè)拋物線解析式為：y = ax²+bx+4        …………  3分

又∵拋物線過B（2，0），C（4，1）

∴   4a+2b+4=0

16a+4b+4=1

解得：a = 

∴拋物線解析式為：y =x²-x+4       …………  4分

(2)拋物線的對稱軸為：直線x =-  …………  5分

作A關(guān)于直線x =的對稱點A′，則A′（，4）………6分

作M關(guān)于x軸的對稱點M′，則M′（0，-2）  …………  7分

連接A′M′交x軸于點E，交直線x =于點F

則此時點P經(jīng)過的路線最短，        

由對稱性得：ME+FE+FA= A′M′…………  8分

又∵A′M′=

∵直線A′M′解析式為：y =

∴E（，0），   F（，1）      …………  9分

(3)①若QB=QC時，Q₁(2，)     …………  10分

②若QC=BC時，Q₂()       …………  11分

③若QB=BC時，Q₃()…………  12分

【相關(guān)知識點】相似三角形的判定、二次函數(shù)、軸對稱的性質(zhì)、二元一次方程組、等腰三角形的判定

【解題思路】(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求點的坐標.(2)根據(jù)所求點的坐標，利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式.（3）利用軸對稱的性質(zhì)先把點M、A分別轉(zhuǎn)移到x軸、對稱軸的兩側(cè)，再利用兩點之間線段最短確定出點E和F的位置及最短路線長.(4)由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合相似得出Q點坐標.