Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y=﹣x+6的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，AE平分∠BAO，交x軸于點E．

（1）求點B的坐標(biāo)及直線AE的表達(dá)式；

（2）過點B作BF⊥AE，垂足為F，在y軸上有一點P，使線段PE+PF的值最小，求點P的坐標(biāo)；

（3）若將已知條件“AE平分∠BAO，交x軸于點E”改變?yōu)?/span>“點E是線段OB上的一個動點（點E不與點O、B重合）”，過點B作BF⊥AE，垂足為F，以EF為邊作正方形EFMN，當(dāng)點M落在坐標(biāo)軸上時，求E點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B（8，0），y=﹣2x+6；（2）P（0，﹣）；（3）點E坐標(biāo)為（，0）或（6，0）．

【解析】

（1）設(shè)OE=x，作EM⊥AB于M．在Rt△EBM中，根據(jù)EM2+BM2=EB2，可得x2+42=（8-x）2，求出x即可解決問題；

（2）如圖2中，作點E關(guān)于y軸的對稱點E′，連接FE′交y軸于P，此時PE+PF的值最小．想辦法切線直線FE′的解析式即可解決問題；

（3）①如圖3中，當(dāng)點M在y軸上時，作FP⊥OB于P，F(xiàn)Q⊥OM于Q．利用全等三角形的性質(zhì)，證明四邊形OPFQ是正方形即可解決問題；②如圖4中，當(dāng)點M在x軸上時，易知OA=OE=6，可得E（6，0）.

（1）如圖1中，

∵一次函數(shù)y=﹣x+6的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B點，

∴A（0，6），B（8，0），設(shè)OE=x，作EM⊥AB于M．

∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，

∴OE=EM=x，

在△AEO和△AEM中，，

∴△AEO≌△AEM，

∴AM=AO=6，

∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，

∴AB===10，

∴BM=4，

在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，

∴x2+42=（8﹣x）2，

∴x=3，

∴E（3，0），

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，

則，

解得，

∴直線AE的解析式為y=﹣2x+6；

（2）如圖2中，作點E關(guān)于y軸的對稱點E′，連接FE′交y軸于P，此時PE+PF的值最小．

∵BF⊥AE，

∴直線BF的解析式為y=x﹣4，

由 解得，

∴F（4，﹣2），

∴直線FE′的解析式為y=﹣x﹣，

∴P（0，﹣）．

（3）①如圖3中，當(dāng)點M在y軸上時，作FP⊥OB于P，F(xiàn)Q⊥OM于Q．

∵四邊形EFMN是正方形，

∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，

∴∠EFP=∠MFQ，

∵∠FPE=∠FQM=90°，

∴△FPE≌△FQM，

∴FP=FQ，四邊形OPFQ是正方形，設(shè)邊長為x．

∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，

∴∠FAQ=∠FBP，

∵∠AQF=∠BPF=90°，

∴△AQF≌△BPF，

∴AQ=BP，

∴6+x=8﹣x

∴x=1，

∴F（1，﹣1），

∴直線AF的解析式為y=﹣7x+6，

∴E（，0）；

②如圖4中，當(dāng)點M在x軸上時，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．

綜上所述，滿足條件的點E坐標(biāo)為（，0）或（6，0）．