Question

已知，如圖，△ABC的角平分線AP交它的外接圓于P，交BC于D，過點P作PE∥AB交圓于E．
求證：（1）AC=PE；（2）PB²=PD•PA．

Answer 1

證明：（1）∵PE∥AB，
∴
∴∠BAP=∠APE，
∵△ABC的角平分線AP交它的外接圓于P，交BC于D，
∴∠CAP=∠BAP
∴∠CAP=∠APE，
∴，
∴，
∴AC=PE；

（2）∵∠CBP=∠BAP，∠BPA=∠BPA，
∴△PBD∽△PAB，
∴PB²=PD•PA．
分析：（1）證明兩條弦相等，即可轉(zhuǎn)化為證明其所對的弧相等；
（2）利用上題證得的相等的圓周角證明△PBD∽△PAB后即可得到等積式．
點評：本題考查了圓周角定理及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用弧與圓周角的轉(zhuǎn)化．