【題目】(基礎(chǔ)運用)

如圖①所示,直線Ly=x+5x軸負(fù)半軸,y軸正半軸分別交于A、B兩點.

1)點A坐標(biāo)為 SOAB= ;

2)如圖②所示,設(shè)QAB延長線上一點,作直線OQ,過A、B兩點分別作AMOQM,BNOQN,①求證:△AOM≌△OBN;②若AM=4,求MN的長;

(思維延伸)直線Ly=mx+5mx軸負(fù)半軸,y軸正半軸分別交于A、B兩點.

3)當(dāng)m取不同的值時,點By軸正半軸上運動,分別以OB、AB為邊,點B為直角頂點在第 一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,連EFy軸于P點,如圖③.問:當(dāng)點By軸正半軸上運動時,試猜想線段PE與線段PF的數(shù)量關(guān)系并證明;

4)如圖③,當(dāng)m取不同的值時,點By軸正半軸上運動,以AB為邊在第二象限作等腰直角△ABE,則動點E在直線 上運動.(直接寫出直線的表達(dá)式)

【答案】1(-50),;(2證明見詳解,②7;(3PE=PF,證明見詳解;(4y=-x5.

【解析】

1)由直線L解析式,求出AB坐標(biāo),從而可以求出△OAB的面積.

2OA=OB,對頂角相等,且一對直角相等,利用AAS得到△AMO≌△OBN.

已知AOAM,利用勾股定理從而求得OM以及MN.

3)如圖,作EKy軸于K點,利用AAS得到△AOB≌△BKE,利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OA=BK,EK=OB,再利用AAS得到△PBF≌△PKE,從而進(jìn)行求證即可.

4)由(3)可得OA=BK=5,EK=OB=5m,則可得OK=OB+BK=5m+5,即可得點E(-5m,5m+5),繼而可知動點E在直線y=-x+5上運動.

解:(1)∵直線Ly=x5x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A,B兩點,

A(-5,0)B(0,5)SOAB=

2AMOQBNOQ,

∴∠AMO=BNO=90°,∠AOM+∠OAM=90°,

∵∠AOM+∠BON=90°,

∴∠OAM=BON,

在△AOM與△OBN中,∠OAM=BON,∠AMO=BNO,OA=OB

△AOM≌△OBN (AAS),

由題意得OA=5AM=4,利用勾股定理求得OM=3,又由①△AOM≌△OBN,可知AM=ON=4,即有MN=OM+ON=3+4=7.

3PE=PF.

理由︰如圖,作EKy軸于K點,

∵△ABE為等腰直角三角形,

AB=BE,∠ABE=90°,

∴∠EBK+∠ABO=90°,

∵∠EBK+∠BEK=90°,

∴∠ABO=BEK ,

在△AOB和△BKE中,∠BKE=AOB=90°,ABO=BEK ,AB=BE,

∴△AOB≌△BKE(AAS)

OA=BK,EK=OB

∵△OBF為等腰直角三角形,

OB=BF,EK=BF,

在△EKP和△FBP中,∠EKP=PBF=90°,KPE=BPF,EK=FB,

∴△PBF≌△PKE(AAS)

PE=PF.

4)如圖3,∵A(-50),B(0,5m),

OA=BK=5EK=OB=5k,

OK=OBBK=5m5

∴點E(-5m,5m5),

∵動點E在直線y=-x5上運動.

故答案為︰y=-x5.

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①若菱形的一個內(nèi)角為,則該菱形的“接近度”等于 ;

②當(dāng)菱形的“接近度”等于 時,菱形是正方形.

(2)設(shè)矩形相鄰兩條邊長分別是),將矩形的接近度定義為,于是越小,矩形越接近于正方形.

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