Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CE=2DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD的邊長為6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折疊使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG= ∠BAD=45°，所以①正確；
設(shè)BG=x，則GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，
∵CG2+CE2=GE2 ，
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2 ， 解得x=3，
∴BG=3，CG=6﹣3=3
∴BG=CG，所以②正確；
∵EF=ED，GB=GF，
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正確；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正確；
過F作FH⊥DC
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴ ，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比為： = ，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC= ×3×4﹣ ×4×（ ×3）= =3.6，所以⑤正確．
故正確的有①②③④⑤，
故選：D．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和翻折變換（折疊問題）的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等才能正確解答此題．