【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C,旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°),連接BB1,設(shè)CB1交AB于D,AlB1分別交AB,AC于E,F.
(1)求證:△BCD≌△A1CF;
(2)若旋轉(zhuǎn)角α為30°,
①請你判斷△BB1D的形狀;
②求CD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)①△BB1D是等腰三角形.②-1.
【解析】試題分析:
(1)①由AC=BC可得∠A=∠ABC;②由△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°)得到△A1B1C可得:∠A1=∠A,A1C=AC,∠ACA1=∠BCB1=α;①②結(jié)合可得:∠A1=∠CBD,A1C=BC,這樣由“ASA”可證得△BCD≌△A1CF;
(2)①由CB=CB1,∠BDB1=α+∠CBA,α為30°,證明∠BDB1=∠BBD=75°可得BD=BB1,從而可得△BB1D是等腰三角形;
②過點D作DG⊥BC于點G,設(shè)DG=x,則由∠DBC=45°,α為30°可得:BG=x,CD=2x,CG=2-x,然后在Rt△CDG中由勾股定理建立方程解出x的值,即可求得CD的長.
試題解析:
(1)證明:(1)∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC.
∵△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,
∴∠A1=∠A,A1C=AC,∠ACA1=∠BCB1=α.
∴∠A1=∠CBD,A1C=BC.
在△CBD與△CA1F中,
,
∴△BCD≌△A1CF(ASA).
(2)解:①△BB1D是等腰三角形,理由如下:
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC=B1C,則∠CB1B=∠CBB1,
∴∠CB1B=∠CBB1==75°.
又∵∠BDB1=∠ABC+α=45°+30°=75°,
∴∠BDB1=∠DB1B=75°,
∴BD=BB1,
∴△BB1D是等腰三角形.
②如圖,過D作DG⊥BC于G,設(shè)DG=x,
∵ɑ=30°,∠DBE=45°,
∴BG=x,CG=CB-BG=2-x,DC=2x,
又∵在Rt△CDG中,CD2=DG2+CG2,
∴,解得: (不合題意,舍去),
∴CD=2x=.
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【題目】閱讀下列材料,完成下列各題:平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系。
(1)如圖1,若,點P在AB,CD之間,求證:∠BPD=∠B+∠D;
(2)在圖1中,將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q,如圖2,請寫出,∠B,,之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
(3)利用(2)的結(jié)論,求圖3中+∠G=n×90°,則n=____.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是正方形,點E、F分別是BC、CD邊的中點,連結(jié)AE、BF交于點P,連結(jié)DP.
(1)求證:AE⊥BF.
(2)求證:PD=AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,A、B兩地相距50千米,甲于某日下午1時騎自行車從A地出發(fā)駛往B地,乙也于同日下午騎摩托車按相同路線從A地出發(fā)駛往B地,如圖所示,圖中的折線PQR和線段MN分別表示甲、乙所行駛的路程S和時間t的關(guān)系.象回答下列問題:
(1)甲和乙哪一個出發(fā)的更早?早出發(fā)多長時間?
(2)甲和乙哪一個早到達(dá)B城?早多長時間?
(3)乙騎摩托車的速度和甲騎自行車在全程的平均速度分別是多少?
(4)請你根據(jù)圖象上的數(shù)據(jù),求出乙出發(fā)后多長時間追上甲?
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【題目】如圖,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于點C,BD平分∠ABF,且交AE于點D,AC與BD相交于點O,連接CD
(1)求∠AOD的度數(shù);
(2)求證:四邊形ABCD是菱形.
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【題目】為了爭創(chuàng)全國文明衛(wèi)生城市,優(yōu)化城市環(huán)境,某市公交公司決定購買10輛全新的混合動力公交車,現(xiàn)有兩種型號,它們的價格及年省油量如下表:
型 號 | ||
價格(萬元/輛) | ||
年省油量(萬升/輛) | 2.4 | 2 |
經(jīng)調(diào)查,購買一輛型車比購買一輛型車多20萬元,購買2輛型車比購買3輛型車少60萬元.
(1)請求出和的值;
(2)若購買這批混合動力公交車(兩種車型都要有), 每年能節(jié)省的油量不低于22.4萬升,請問有幾種購車方案?(不用一一列出)請求出最省錢的購車方案所需的車款.
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【題目】如圖,將兩個全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(圖(1)).令△ABD不動,
(1)若將△ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),連接DE,M是DE的中點,連接MB、MC(圖(2)),證明:MB=MC.
(2)若將圖(1)中的CE向上平移,∠CAE不變,連接DE,M是DE的中點,連接MB、MC(圖(3)),判斷MB、MC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)在(2)中,若∠CAE的大小改變(圖(4)),其他條件不變,則(2)中的MB、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小明在教學(xué)樓A處分別觀測對面實驗樓CD底部的俯角為45°,頂部的仰角為37°,已知教學(xué)樓和實驗樓在同一平面上,觀測點距地面的垂直高度AB為15m,求實驗樓的垂直高度即CD長(精確到1m).
參考值:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75.
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