Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別是BC、CD邊的中點(diǎn)，連結(jié)AE、BF交于點(diǎn)P，連結(jié)DP．

（1）求證：AE⊥BF．

（2）求證：PD=AB．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)“邊角邊”證明，得到，；利用等量代換，得到；再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，即可得證．

（2）如圖，延長交延長線于．根據(jù)“角邊角”證明，得到，即得到點(diǎn)為的中點(diǎn)；根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，可得在直角三角形中，，即可得．

（1）∵四邊形是正方形，

∴，，

∵點(diǎn)、分別是、邊的中點(diǎn)，

∴，

∴在和中，

∴，

∴，，

又∵在中，，

∴，

∴，

∴．

（2）如圖，延長交延長線于，則，

∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，

∴在和中，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∵由（1）得，

∴為直角三角形，

∴，

又，

∴．