【題目】平面內(nèi),如圖,在ABCD中,AB=10,AD=15,tanA= ,點P為AD邊上任意點,連接PB,將PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.
(1)當(dāng)∠DPQ=10°時,求∠APB的大;
(2)當(dāng)tan∠ABP:tanA=3:2時,求點Q與點B間的距離(結(jié)果保留根號);
(3)若點Q恰好落在ABCD的邊所在的直線上,直接寫出PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過的面積.(結(jié)果保留π)
【答案】
(1)
解:如圖1中,
①當(dāng)點Q在平行四邊形ABCD內(nèi)時,∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°﹣10°=80°,
②當(dāng)點Q在平行四邊形ABCD外時,∠APB=180°﹣(∠QPB﹣∠QPD)=180°﹣(90°﹣10°)=100°,
綜上所述,當(dāng)∠DPQ=10°時,∠APB的值為80°或100°
(2)
解:如圖2中,連接BQ,作PE⊥AB于E.
∵tan∠ABP:tanA=3:2,tanA= ,
∴tan∠ABP=2,
在Rt△APE中,tanA= = ,設(shè)PE=4k,則AE=3k,
在Rt△PBE中,tan∠ABP= =2,
∴EB=2k,
∴AB=5k=10,
∴k=2,
∴PE=8,EB=4,
∴PB= =4 ,
∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴BQ= PB=4
(3)
解:①如圖3中,當(dāng)點Q落在直線BC上時,作BE⊥AD于E,PF⊥BC于F.則四邊形BEPF是矩形.
在Rt△AEB中,∵tanA= = ,∵AB=10,
∴BE=8,AE=6,
∴PF=BE=8,
∵△BPQ是等腰直角三角形,PF⊥BQ,
∴PF=BF=FQ=8,
∴PB=PQ=8 ,
∴PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過的面積= =32π.
②如圖4中,當(dāng)點Q落在CD上時,作BE⊥AD于E,QF⊥AD交AD的延長線于F.設(shè)PE=x.
易證△PBE≌△QPF,
∴PE=QF=x,EB=PF=8,
∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1,
∵CD∥AB,
∴∠FDQ=∠A,
∴tan∠FDQ=tanA= = ,
∴ = ,
∴x=4,
∴PE=4, =4 ,
在Rt△PEB中,PB=, =4 ,
∴PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過的面積= =20π
③如圖5中,
當(dāng)點Q落在AD上時,易知PB=PQ=8,
∴PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過的面積= =16π,
綜上所述,PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過的面積為32π或20π或16π
【解析】(1)分兩種情形①當(dāng)點Q在平行四邊形ABCD內(nèi)時,②當(dāng)點Q在平行四邊形ABCD外時,分別求解即可;(2)如圖2中,連接BQ,作PE⊥AB于E.在Rt△APE中,tanA= = ,設(shè)PE=4k,則AE=3k,在Rt△PBE中,tan∠ABP= =2,推出EB=2k,推出AB=5k=10,可得k=2,由此即可解決問題;(3)分三種情形分別求解即可;
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形,掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對角線互相平分;解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)即可以解答此題.
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【題目】已知:如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,點D是AB的中點,點E是CD的中點,過點C作CF∥AB叫AE的延長線于點F.
(1)求證:△ADE≌△FCE;
(2)若∠DCF=120°,DE=2,求BC的長.
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【題目】A,B兩地相距2400米,甲、乙兩人分別從A,B兩地同時出發(fā)相向而行,乙的速度是甲的2倍,已知乙到達(dá)A地15分鐘后甲到達(dá)B地.
(1)求甲每分鐘走多少米?
(2)兩人出發(fā)多少分鐘后恰好相距480米?
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【題目】列方程解應(yīng)用題
(1)為了迎接新年的到來,學(xué)校準(zhǔn)備向每位同學(xué)贈送一張賀年卡,甲、乙兩家都可以印制這種賀年卡,甲廠要收制版費600元,且印制每張0.35元,乙廠要收制版費500元,且印制每張0.40元,兩廠制作的賀年卡的質(zhì)量一樣.
①當(dāng)印制多少張時,甲、乙兩廠的收費一樣?
②如果要印制2500張,選擇哪一家合算?
③根據(jù)你的計算和判斷,你認(rèn)為印制多少張時,選擇甲廠更合算?印制多少張時,選擇乙廠更合算?
(2)我校每天中午總是在規(guī)定時間打開學(xué)校大門,七年級新生小明每天中午同一時間從家騎自行車到學(xué)校,星期一中午他以每小時15千米的速度到校,結(jié)果在校門口等了6分鐘才開門,星期二中午他以每小時9千米的速度到校,結(jié)果校門剛好已開了6分鐘,星期三中午小明想準(zhǔn)時到達(dá)學(xué)校門口,那么小明騎自行車的速度應(yīng)該為每小時多少千米?
根據(jù)下面思路,請完成此題的解答過程:
解:設(shè)星期三中午小明從家騎自行車準(zhǔn)時到達(dá)學(xué)校門口所用時間為t小時,則星期一中午小明從家騎自行車到達(dá)學(xué)校門口所用時間為 小時,星期二中午小明從家騎自行車到達(dá)學(xué)校門口所用時間為 小時,由題意列方程得:
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【題目】如圖,AB=16,O為AB中點,點C在線段OB上(不與點O,B重合),將OC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧 于點P,Q,且點P,Q在AB異側(cè),連接OP.
(1)求證:AP=BQ;
(2)當(dāng)BQ=4 時,求 的長(結(jié)果保留π);
(3)若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部,求OC的取值范圍.
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【題目】某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品,需要精加工后,才能投放市場,F(xiàn)有甲、乙兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品,已知甲工廠單獨加工完這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完這批產(chǎn)品多用20天,而乙工廠每天比甲工廠多加工8件產(chǎn)品,公司需付甲工廠加工費用每天80元,乙工廠加工費用每天120元。
(1)求甲、乙兩個工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品。
(2)公司制定產(chǎn)品加工方案如下:可以由每個廠家單獨完成;也可以由兩個廠家同時合作完成。在加工過程中,公司需派一名工程師每天到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo),并負(fù)擔(dān)每天5元的誤餐補(bǔ)助費。 請你幫助公司選擇一種既省時又省錢的加工方案,并說明理由。
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【題目】如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,∠A=2∠C.
(1)若∠C=38°,則∠ABD= ;
(2)求證:BC=AB+AD;
(3)求證:BC2=AB2+ABAC.
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【題目】如圖,D是△ABC的邊AB上一點,CE∥AB,DE交AC于點F,若FA=FC.
(1)求證:四邊形ADCE是平行四邊形;
(2)若AE⊥EC,EF=EC=1,求四邊形ADCE的面積.
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【題目】閱讀下列材料:
小明遇到這樣一個問題:已知:在△ABC中,AB,BC,AC三邊的長分別為、、,求△ABC的面積.
小明是這樣解決問題的:如圖1所示,先畫一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1),再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處),從而借助網(wǎng)格就能計算出△ABC的面積他把這種解決問題的方法稱為構(gòu)圖法.
請回答:
(1)①圖1中△ABC的面積為________;
②圖1中過O點畫一條線段MN,使MN=2AB,且M、N在格點上.
(2)圖2是一個6×6的正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1).利用構(gòu)圖法在圖2中畫出三邊長分別為、2、的格點△DEF.
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