Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB1∥AC．動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長度；

（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t=1時(shí)，AD=AB，AE=1；

（2）當(dāng)t=或 或 或 時(shí)，△DEG與△ACB相似.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)勾股定理得出AB=5,要使AD=AB=5，∵動點(diǎn)D每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動，∴t=1；（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，要分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，求出DE的表達(dá)式時(shí)，要分AD＜AE和AD＞AE兩種情況討論.

試題解析：

（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5．

∵AD=5t，CE=3t， ∴當(dāng)AD=AB時(shí)，5t=5，即t=1；

∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中點(diǎn)， ∴GE=2．

當(dāng)AD＜AE（即t＜）時(shí)，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，

若△DEG與△ACB相似，則或 ，

∴或， ∴t=或t=；

當(dāng)AD＞AE（即t＞）時(shí)，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，

若△DEG與△ACB相似，則或 ， ∴或，

解得t=或t=；

綜上所述，當(dāng)t=或 或 或 時(shí)，△DEG與△ACB相似．