Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OC，如圖，根據(jù)角平分線定義得∴∠DAC=∠OAC，加上∠OAC=∠OCA，則∠DAC=∠OCA，于是可判斷OC∥AD，由于AD⊥DC，所以O(shè)C⊥DC，則可根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）連結(jié)BC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，易證得Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，利用相似比可計(jì)算出AC=2

6

，然后在Rt△ADC中根據(jù)勾股定理可計(jì)算出DC．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
∴DC為⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)BC，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
而∠DAC=∠BAC，
∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

4

AC

=

AC

6

，解得AC=2

6

，
在Rt△ADC中，∵AC=2

6

，AD=4，
∴CD=

AC2-AD2

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．