Question

請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問(wèn)題．
（1）探究1：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD邊BC、CD上，AE⊥BF于點(diǎn)O，小芳看到該圖后，發(fā)現(xiàn)AE=BF，這是因?yàn)椤螮AB和∠FBC都是∠ABF的余角，就會(huì)由ASA判定得出△ABE≌△BCF．小芳馬上聯(lián)想到正方形的對(duì)角線也是互相垂直且相等的（如圖2），是不是在一般情況下，正方形內(nèi)部?jī)蓷l長(zhǎng)度大于邊長(zhǎng)且互相垂直的線段，即使它們不經(jīng)過(guò)正方形的頂點(diǎn)，也會(huì)相等呢？
很快她發(fā)現(xiàn)結(jié)果是成立的，除了通過(guò)構(gòu)造法證明兩條線段所在的三角形全等之外，還可以通過(guò)平移的方法把圖3轉(zhuǎn)化為圖1，得到GH=EF，該方法更加簡(jiǎn)捷；
（2）探究2：小芳進(jìn)一步思考，如果讓兩個(gè)全等正方形組成矩形ABCD，如圖4所示，GH⊥EF于點(diǎn)O，她發(fā)現(xiàn)GH=2EF，請(qǐng)你替她完成證明；
（3）探究3：如圖5所示，讓8個(gè)全等正方形組成矩形ABCD，GH⊥EF于點(diǎn)O，請(qǐng)你猜想GH和EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)在下面：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：（2）平移FE至DE′，平移GH至AH′，根據(jù)平移的性質(zhì)可得：FE=DE′，GH=AH′，F(xiàn)E∥DE′，GH∥AH′，易證Rt△BAH′∽R(shí)t△ADE′，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題．
（3）借鑒（2）中的解題經(jīng)驗(yàn)可得

GH

EF

=

AH′

DE′

=

AB

AD

=8，則有GH=8EF．

解答：（2）證明：平移FE至DE′，平移GH至AH′，如圖4．
根據(jù)平移的性質(zhì)可得：FE=DE′，GH=AH′，F(xiàn)E∥DE′，GH∥AH′，
∴四邊形OPQR為平行四邊形．
∵GH⊥EF，即∠POR=90°，
∴平行四邊形OPQR為矩形，
∴∠AQE′=∠PQR=90°，
∴∠QAE′+∠QE′A=90°．
又∵∠ADE′+∠DE′A=90°，
∴∠ADE′=∠QAE′．
又∵∠DAE′=∠ABH′=90°，
∴Rt△BAH′∽R(shí)t△ADE′，
∴

AH′

DE′

=

AB

AD

=2，
∴

GH

EF

=

AH′

DE′

=2，
∴GH=2EF．

（3）猜想：GH=8EF．
解：平移FE至DE′，平移GH至AH′，如圖5．
根據(jù)平移的性質(zhì)可得：FE=DE′，GH=AH′，F(xiàn)E∥DE′，GH∥AH′，
∴四邊形OPQR為平行四邊形．
∵GH⊥EF，即∠POR=90°，
∴平行四邊形OPQR為矩形，
∴∠AQE′=∠PQR=90°，
∴∠QAE′+∠QE′A=90°．
又∵∠ADE′+∠DE′A=90°，
∴∠ADE′=∠QAE′．
又∵∠DAE′=∠ABH′=90°，
∴Rt△BAH′∽R(shí)t△ADE′，
∴

AH′

DE′

=

AB

AD

=8，
∴

GH

EF

=

AH′

DE′

=8，
∴GH=8EF．
故答案為：GH=8EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平移的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，突出了對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查．