Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，點Q從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點D運動，點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度在線段BC間往返運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點D時，兩點同時停止運動．
（1）當t為何值時，四邊形PCDQ的面積為36？
（2）0＜t＜5時，若DP≠DQ，當t為何值時，△DPQ是等腰三角形？

Answer 1

考點：梯形,等腰三角形的判定

專題：動點型

分析：（1）用t表示出QD、CP，然后利用梯形的面積公式列式進行計算即可得解；
（2）分①PQ=PD時，過P作PE⊥AD于E，根據等腰三角形三線合一的性質用t表示出QE，然后表示出AE，再根據AE=AP列出方程求解；
②QD=QP，過Q作QF⊥BC于F，用t表示出FP，在Rt△QPF中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵AD=8cm，BC=10cm，點Q從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點D運動，點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度在線段BC間往返運動，
∴QD=AD-AQ=8-t（cm），
當從B到C是，CP=BC-BP=10-2t（cm），當從C返回B時，CP=2t-10（cm），
∴當點P未到達點C時，四邊形PCDQ的面積為：

1

2

（8-t+10-2t）×6=36，
解得：t=2；
當點P到達點C返回時，四邊形PCDQ的面積：

1

2

（8-t+2t-10）×6=36，
解得t=14秒（不符合題意，舍去）；
∴t=2s時，四邊形PCDQ的面積為36cm²；

（2）①如圖，若PQ=PD，過P作PE⊥AD于E，
則QD=8-t，QE=

1

2

QD=

1

2

（8-t），
AE=AQ+QE=t+

1

2

（8-t）=

1

2

（8+t），
∵AE=BP，
∴

1

2

（8+t）=2t，
解得t=

8

3

；
②如圖，若QD=QP，過Q作QF⊥BC于F，
則QF=6，FP=2t-t=t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：
QF²+FP²=QP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得t=

7

4

，
綜上所述，當t=

8

3

或

7

4

時，△DPQ是等腰三角形．

點評：本題考查了梯形的性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理的應用．屬于綜合題，但難度適中，作輔助線利用等腰三角形三線合一的性質以及勾股定理是解題的關鍵．