Question

【題目】在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D為底邊BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)的角∠PDQ=∠B．

（1）如圖1，若射線DQ經(jīng)過點(diǎn)A，DP交AC邊于點(diǎn)E，直接寫出與△CDE相似的三角形；

（2）如圖2，若射線DQ交AB于點(diǎn)F，DP交AC邊于點(diǎn)E，設(shè)AF=x，AE為y，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，連接EF，則△DEF與△CDE相似嗎？試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（1）與△CDE相似的三角形為△ABD，△ACD，△ADE；理由見解析；（2）y=；（3）△DEF與△CDE相似．理由見解析.

【解析】試題分析：1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，因此△ABD∽△ACD，證出∠PDQ=∠C，由∠DAE=∠CAD，得出△ADE∽△ACD；在證出△CDE∽△CAD，即可得出結(jié)果；

（2）證出△BDF∽△CDE，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）由（2）可知：△BDF∽△CDE，得出證出，由∠EDF=∠C，即可得出△DEF∽△CED．

試題分析：（1）與△CDE相似的三角形為△ABD，△ACD，△ADE；理由如下：

∵AB=AC，D為底邊BC的中點(diǎn)，

∴∠B=∠C，AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴△ABD∽△ACD，

∵∠PDQ=∠B，

∴∠PDQ=∠C，

又∵∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD；

∵∠CDE+∠PDQ=90°，

∴∠C+∠PDQ=90°，

∴∠CED=90°=∠ADC，

又∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAD，

∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE；

（2）∵∠FDC=∠B+∠BDF，

∠FDC=∠FDE+∠EDC，

∴∠EDC=∠BDF，

∴△BDF∽△CDE，

∴，

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD=6，

∴

∴y=；

（3）△DEF與△CDE相似．理由如下：如圖所示：

由（2）可知：△BDF∽△CDE，

則，

∵BD=CD，

∴，

又∵∠EDF=∠C，

∴△DEF∽△CED．