Question

如圖，直線y=

1

2

x-2分別交x軸y軸于點(diǎn)A、B，C為AB中點(diǎn)，CD⊥x軸于點(diǎn)D，CD的延長(zhǎng)線交反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象于點(diǎn)P，S_△POD=2．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求k的值；
（3）在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使△QAD≌△CDA？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由直線y=

1

2

x-2分別交x軸y軸于點(diǎn)A、B，可求得點(diǎn)A，B的值，又由C為AB中點(diǎn)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由CD的延長(zhǎng)線交反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象于點(diǎn)P，S_△POD=2，根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義，即可求得答案；
（3）由△QAD≌△CDA，可知當(dāng)QA⊥x軸，QA=1時(shí)，△QAD≌△CDA，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=

1

2

x-2分別交x軸y軸于點(diǎn)A、B，
∴當(dāng)y=0時(shí)，

1

2

x-2=0，解得：x=4，
∴A（4，0），
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，
∴B（0，-2），
∵C為AB中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C（2，-1）；

（2）∵CD⊥x軸于點(diǎn)D，CD的延長(zhǎng)線交反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象于點(diǎn)P，S_△POD=2，
∴k=2S_△POD=4；

（3）存在．
∵k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

4

x

，
∵△ACD是直角三角形，且CD=1，
∴當(dāng)QA⊥x軸，QA=1時(shí)，△QAD≌△CDA，
當(dāng)x=4時(shí)，y=

4

4

=1，
此時(shí)點(diǎn)Q（4，1）符合要求．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（4，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，綜合性較強(qiáng)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．