Question

《時代數(shù)學(xué)學(xué)習》雜志編輯部為了更好地提高雜志質(zhì)量，邀請了20位同學(xué)圍坐在會議桌旁召開座談會，會上備有足量的各期雜志供大家任意選取，每人可取任意多本，座談會結(jié)束時，統(tǒng)計一下每人所取雜志的本數(shù)，發(fā)現(xiàn)總有一些座位連在一起的人（可以1人或可含全部），他們所取的雜志的本數(shù)的和是20的整數(shù)倍．為什么？

Answer 1

分析：設(shè)出這20個數(shù)，表示出連續(xù)相鄰數(shù)的和，利用有余數(shù)的除法解答即可．

解答：解：20人圍成一圈，任選一人開始，依順時針方向（也可以依逆時針方向），設(shè)20人所取本書分別為a₁，a₂，a₃，a₄，…a₂₀；
令S₁=a₁，S₂=a₁+a₂，…
S_K=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_k（k=1，2，3…20）；
如果S_K中有一個數(shù)為20的倍數(shù)，本結(jié)論成立；
若S_K中沒有一個數(shù)為20的倍數(shù)，則S_K被20除的余數(shù)為r_k（k=1，2，3…20）=1，2，3，…19共19個余數(shù)，
因此r₁，r₂，…r₂₀中至少有兩個相同，不妨設(shè)r_i=r_j（1≤i≤j≤20），
此時S_i-S_j=a_i+1+a_i+2+…a_j為20的倍數(shù)，
即相鄰的第i+1，i+2，…至第j個人，他們所取本數(shù)的和是20的倍數(shù)．

點評：此題主要考查利用有余數(shù)的除法解決問題，也可用抽屜原理解答．