Question

如圖1，已知△AOC的兩個頂點坐標(biāo)分別為A（2，0），C（0，2）．
（1）請你以AC的中點為對稱中心，畫出△AOC的中心對稱圖形△ABC，此圖與原圖組成的四邊形OABC的形狀是______，并說明理由；
（2）如圖2，已知D（-，0），過A，C，D的拋物線與（1）所得的四邊形OABC的邊BC交于點E，求拋物線的解析式及點E的坐標(biāo)；
（3）在問題（2）的圖形中，點P為拋物線上一點（與點E不重合），且S_△PAC=S_△ACE，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)A的中點為F，連接OF并延長至B，使得BF=OF；
連接AC，AB，則△ABC為所求作的△AOC的中心對稱圖形，
∵A（2，0），C（0，2），
∴OA=OC．
∵△ABC是△AOC的中心對稱圖形，
∴AB=OC，BC=OA，∴OA=AB=BC=OC，
∴四邊形OABC是菱形，
又∵∠AOC=90°，∴四邊形OABC是正方形．
（2）設(shè)經(jīng)過點A、C、D的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，則
∵A（2，0），C（0，2），D（-，0），
∴，解得：，…
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+3x+2．
由（1）知，四邊形OABC為正方形，
∴B（2，2），
∴直線BC的解析式為y=2，
令y=-2x²+3x+2=2，解得x₁=0，x₂=，
∴點E的坐標(biāo)為（，2）．
（3）由題意，可得：S_△ACE=CE•AB=××2=．
①當(dāng)點P在直線AC的上方時，過點E作直線m∥AC，與拋物線的交點為所求點．
設(shè)直線m的表達式為y=k₁x+b₁，則由題意，可得：k₁=-1，∴y=-x+b₁．
又∵點E在直線m上，∴-+b₁=2，∴b₁=，∴y=-x+．
由得：或∴點P₁（，3）．
②當(dāng)點P在直線AC的下方時，作點E關(guān)于直線AC的對稱點E′（0，），過點E′作直線n∥AC，與拋物線的交點為所求點P．與①同理，可求得直線n的表達式為y=-x+，則由得：或，
∴點P₂（1+，），P₃（1-，）．
分析：（1）△AOC是等腰直角三角形，根據(jù)中心中心對稱圖形的性質(zhì)易證，四邊形OABC是菱形，然后根據(jù)正方形的定義即可證得是正方形；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得經(jīng)過點A、C、D的拋物線的解析式，直線BC的解析式是y=2，因而把y=2代入拋物線的解析式即可求得E的坐標(biāo)；
（3）分當(dāng)點P在直線AC的上方和點P在直線AC的下方時兩種情況，分別求得過E點，且平行于AC的直線的解析式，解直線的解析式與拋物線的解析式組成的方程組，即可求得交點坐標(biāo)．
點評：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的判定以及函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法的綜合應(yīng)用，正確分兩種情況討論是關(guān)鍵．