Question

（本題9分）如圖，對稱軸為x=的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)E（，）是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形．求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？

②是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1） （2）見解析

【解析】

試題分析：（1）理由待定系數(shù)法進(jìn)行求解，將解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后計(jì)算；（2）根據(jù)四邊形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后分別進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后進(jìn)行說明.

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=．

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得 解得．

所以拋物線的解析式為.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合拋物線的解析式，

所以y<0，即-y>0，-y表示點(diǎn)E到OA的距離．

因?yàn)镺A是平行四邊形OEAF的對角線，所以S=2=－6y=－4

因?yàn)閽佄锞�與x軸的兩個交點(diǎn)是（1，0）和（6，0），所以，自變量x的取值范圍是1＜x＜6．

①依題意，當(dāng)S=24時，即－4=24，解得=3，=4.

所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，-4）或（4，-4）．

E（3，-4）滿足OE=AE，所以四邊形OEAF是菱形；

E（4，-4）不滿足OE=AE，所以四邊形OEAF不是菱形．

②當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時，四邊形OEAF是正方形，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，-3），而點(diǎn)（3，-3）不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)E，使四邊形OEAF是正方形．

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、菱形與正方形的性質(zhì).