Question

已知：如圖所示，在△ABC中，BC=100，邊BC上的高為50．在這個(gè)三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接矩形PQRS．
（1）若矩形的長(zhǎng)PQ與寬PS的比是3：1，求這個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬；
（2）當(dāng)這個(gè)矩形面積最大時(shí)，它的長(zhǎng)與寬各是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)矩形的長(zhǎng)PQ=x，再根據(jù)相似三角形的判定定理得出△APQ∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可用x表示出AE及DE的長(zhǎng)，再根據(jù)長(zhǎng)PQ與寬PS的比是3：1即可得出x的值，故可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中用x表示出的矩形的長(zhǎng)與寬可得出矩形面積的表達(dá)式，故可得出它的長(zhǎng)與寬．

解答：解：（1）設(shè)矩形的長(zhǎng)PQ=x，
∵PQ∥BC，BC=100，邊BC上的高為50，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AE

AD

=

PQ

BC

，即

AE

50

=

x

100

，解得AE=

1

2

x，
∴DE=PS=50-

1

2

x，
∵矩形的長(zhǎng)PQ與寬PS的比是3：1，
∴3（50-

1

2

x）=x，解得x=60，
∴PQ=60，PS=20；

（2）∵由（1）知PQ=x，PS=50-

1

2

x，
∴S_矩形=PQ•PS=x•（50-

1

2

x）=-

1

2

x²+50x（0＜x＜100），
當(dāng)x=-

b

2a

=-

50

2×(- 1 2 )

=50時(shí)，這個(gè)矩形面積最大，
∵x=50在定義域內(nèi)，
∴當(dāng)x=50時(shí)，這個(gè)矩形面積最大，
∴此時(shí)PQ=50，PS=50-

1

2

×50=25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．