Question

如圖，直線l₁的解析表達式為：y=-3x+3，且l₁與x軸交于點D，直線l₂經過點A，B，直線l₁，l₂交于點C．
（1）求直線l₂的解析表達式；
（2）求△ADC的面積；
（3）在直線l₂上存在異于點C的另一點P，使得△ADP與△ADC的面積相等，求出點P的坐標；
（4）若點H為坐標平面內任意一點，在坐標平面內是否存在這樣的點H，使以A、D、C、H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設直線l₂的解析表達式為y=kx+b，
由圖象知：x=4，y=0；
x=3，，
∴，
∴，
∴直線l₂的解析表達式為 ；

（2）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
由 ，
解得 ，
∴C（2，-3），
∵AD=3，
∴S_△ADC=×3×|-3|=；

（3）△ADP與△ADC底邊都是AD，面積相等所以高相等，
ADC高就是C到AD的距離，即C縱坐標的絕對值=|-3|=3，
則P到AB距離=3，
∴P縱坐標的絕對值=3，點P不是點C，
∴點P縱坐標是3，
∵y=1.5x-6，y=3，
∴1.5x-6=3
x=6，
所以點P的坐標為（6，3）；

（4）如圖所示：存在；
∵A（4，0），C（2，-3），D（1，0），
如圖：若以CD為對角線，
則CH=AD=3，
∴點H的坐標為：（-1，-3）；
若以AC為對角線，
則CH′=AD=3，
∴點H′（5，-3）；
若以AD為對角線，
可得H″（3，3）；
∴點H的坐標為：（3，3）（5，-3）（-1，-3）
分析：（1）結合圖形可知點B和點A在坐標，故設l₂的解析式為y=kx+b，由圖聯(lián)立方程組求出k，b的值；
（2）已知l₁的解析式，令y=0求出x的值即可得出點D在坐標；聯(lián)立兩直線方程組，求出交點C的坐標，進而可求出S_△ADC；
（3）△ADP與△ADC底邊都是AD，面積相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距離；
（4）存在；根據平行四邊形的性質，可知一定存在4個這樣的點，規(guī)律為H、C坐標之和等于A、D坐標之和，設出代入即可得出H的坐標．
點評：本題考查的是一次函數的性質，三角形面積的計算以及平行四邊形的性質等等有關知識，有一定的綜合性，難度中等偏上．