Question

已知：如圖，在銳角∠MAN的邊AN上取一點B，以AB為直徑的半圓O交AM于C，交∠MAN的角平分線于E，過點E作ED⊥AM，垂足為D，反向延長ED交AN于F.

【小題1】猜想ED與⊙O的位置關系，并說明理由；
【小題2】若cos∠MAN=，AE=，求陰影部分的面積.

Answer 1

【小題1】（1）DE與⊙O相切.
理由如下：
連結OE.

∵AE平分∠MAN,
∴∠1=∠2.
∵OA=OE,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3,
∴OE∥AD.
∴∠OEF=∠ADF=90°
即OE⊥DE，垂足為E.
又∵點E在半圓O上，
∴ED與⊙O相切.
【小題2】∵cos∠MAN=,
∴∠MAN=60°.
∴∠2=∠MAN=×60°=30°,
∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°.
∴∠2=∠AFD，
∴EF=AE=.
在Rt△OEF中，tan∠OFE=，
∴tan30°=，[來源:學科網ZXXK]
∴OE="1."
∵∠4=∠MAN=60°，
∴S陰=

=.

解析