【題目】如圖1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2,AC,BD相交于點O.
(1)求邊AB的長;
(2)如圖2,將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處,繞點A左右旋轉(zhuǎn),其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC,CD相交于點E,F,連接EF與AC相交于點G.
①判斷△AEF是哪一種特殊三角形,并說明理由;
②旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點E為邊BC的四等分點時(BE>CE),求CG的長.
【答案】(1)2 (2)①等邊三角形 ②
【解析】試題分析:(1)∵四邊形ABCD是菱形,
∴△AOB為直角三角形,且OA=AC=1,OB=BD=.
在Rt△AOB中,由勾股定理得:
AB===2.
(2)①△AEF是等邊三角形.理由如下:
∵由(1)知,菱形邊長為2,AC=2,
∴△ABC與△ACD均為等邊三角形,
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°,又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE與△ACF中,
∵,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形,
又∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等邊三角形.
②BC=2,E為四等分點,且BE>CE,
∴CE=,BE=.
由①知△ABE≌△ACF,
∴CF=BE=.
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°(三角形內(nèi)角和定理),
∠AEG=∠FCG=60°(等邊三角形內(nèi)角),
∠EGA=∠CGF(對頂角)
∴∠EAC=∠GFC.
在△CAE與△CFG中,
∵,
∴△CAE∽△CFG(AA),
∴,即,
解得:CG=.
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【題目】已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,﹣3),求此二次函數(shù)的解析式.
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【題目】若3x2﹣2x+b與x2+bx﹣1的和中不存在含x的項,試求b的值,寫出它們的和,并證明不論x取什么值,它的值總是正數(shù).
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【題目】實踐探究,解決問題
如圖1,△ABC中,AD為BC邊上的中線,則S△ABD=S△ACD .
(1)在圖2中,E、F分別為矩形ABCD的邊AD、BC的中點,且AB=4,AD=8,則S陰影=;
(2)在圖3中,E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點,則S陰影和S平行四邊形ABCD之間滿足的關(guān)系式為;
(3)在圖4中,E、F分別為任意四邊形ABCD的邊AD、BC的中點,則S陰影和S四邊形ABCD之間還滿足(2)中的關(guān)系式嗎?若滿足,請予以證明,若不滿足,說明理由.
解決問題:
(4)在圖5中,E、G、F、H分別為任意四邊形ABCD的邊AD、AB、BC、CD的中點,并且圖中陰影部分的面積為20平方米,求圖中四個小三角形的面積和(即S1+S2+S3+S4的值).
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【題目】如圖,正方形OABC的邊OA,OC在坐標(biāo)軸上,點B的坐標(biāo)為(﹣4,4).點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動;點Q從點O同時出發(fā),以相同的速度沿x軸的正方向運動,規(guī)定點P到達(dá)點O時,點Q也停止運動.連接BP,過P點作BP的垂線,與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D.BD與y軸交于點E,連接PE.設(shè)點P運動的時間為t(s).
(1)∠PBD的度數(shù)為 ,點D的坐標(biāo)為 (用t表示);
(2)當(dāng)t為何值時,△PBE為等腰三角形?
(3)探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化?若變化,說明理由;若不變,試求這個定值.
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【題目】計算:
(1)
(2)6.25×(﹣3.4)+6.25×4.4
(3)
(4)
(5)(﹣1)2015﹣(1﹣0.5)2×|2﹣22|
(6)﹣1+2﹣3+4﹣…﹣2015+2016.
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